Далеко не всякое уравнение может быть решено точно. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных (от лат. transcendens – перешагивающий, выходящий за пределы) уравнений (такие уравнения содержат трансцендентные функции – показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические). То есть в этих уравнениях неизвестная величина х находится под знаком трансцендентной функции, например, sin(х), 10х. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольное алгебраическое уравнение в степени выше четвертой [7].
Однако точное решение уравнения не всегда является обязательным. Задача отыскания корней уравнения может считаться фактически решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.
Большинство применяемых приближенных способов решения уравнений являются способами уточнения корней, т.е. для их применения необходимы примерные значения корня. Для этой цели могут служить графические способы.
|
|
Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид
ƒ(х) = 0 (2.1)
Построим в декартовой системе координат схематический график функции у = f(x). Абсциссы точек пересечения построенной кривой с осью Ох дадут нам значения действительных корней уравнения (2.1).
После того как схематический график построен и примерно выделены участки оси абсцисс, в которых будут лежать корни функции (этот процесс называется отделением корней), приступают к уточнению значений корней.
Существует много аналитических способов уточнения значений корней. Все эти способы имеют одно общее свойство, состоящее в том, что нам должен быть известен интервал [а, b], в котором лежит уточняемый корень уравнения. Выбор этого интервала производится на основании известного свойства непрерывных функций: если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)·f(b) < 0, то между точками а и b имеется хотя бы один корень уравнения f(x)= 0.
Для уточнения значения корня нужно производить сужение интервала [а, b]. Делать это можно следующим образом. Выбираем какую-либо точку с, лежащую внутри интервала [а, b] (обычно за точку с принимают середину отрезка [а, b]), и вычисляем значение f(c). В качестве нового интервала мы примем ту из этих двух половинок интервала [а, b], на концах которого функция имеет разные знаки.
Таким путем можно получить приближенное значение корня с любой степенью точности. Вместе с тем мы получаем и оценку точности приближенного решения. Однако, несмотря на принципиальную простоту, такой подход на практике не всегда используется, так как часто требует слишком большого количества вычислений; поэтому мы рассмотрим другие способы уточнения корня. В случае применения этих способов необходимо, чтобы на рассматриваемом интервале [а, b] функция f(x) удовлетворяла следующим условиям:
|
|
1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] вместе со своими производными первого и второго порядков;
2) значения f(x) на концах отрезка [а, b] имеют разные знаки;
3) первая и вторая производные сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Эти условия гарантируют, что корень уравнения (2.1) содержится интервале и других корней в этом интервале не имеется.