.
!!! Основной задачей при вычислении пределов является устранение неопределенностей с помощью алгебраических преобразований.
1) для неопределенности вида :
- Если в числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции и . Вычисление пределов в случае отношения степенных функций производится путем вынесения за скобку в числителе и знаменателе дроби переменной x в наибольшей степени среди всех слагаемых дроби (неопределенность устраняется после сокращения дроби и применения основных теорем о пределах); в случае показательных функций за скобку выносится наибольшее слагаемое.
- Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле, т.е.
.
2) для неопределенности вида :
- Если возможно, то числитель и знаменатель разложить на множители. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
- Числитель и знаменатель дроби домножить на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
|
|
Формулы сокращенного умножения:
(a-b)(a+b)= a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
- Правило Лопиталя.
3) для неопределенности вида [0 ]:
- Выражение, представляющее собой произведение функций, нужно преобразовать в частное (не меняя смысла). После чего неопределенность преобразуется к виду или
.
4) для неопределенности вида [ ]:
- Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой сумму или разность дробей, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу после приведения к общему знаменателю.
- Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой разность или сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу путем домножения и деления функции на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.
5) для неопределенности вида [ ]:
- Выражение, стоящее под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию (в основании которой необходимо выделить целую часть дроби). Неопределенность устраняется при помощи выделения второго замечательного предела.
Формула второго замечательного предела:
;
.
120. Необходимые и достаточные условия
монотонности функции. Экстремумы функции
Определение 1. Точка называется точкой максимума функции
, если существует такая
-окрестность точки
, что для всех
из этой окрестности выполняется неравенство
.
Определение 2. Точка называется точкой минимума функции
, если существует такая
-окрестность точки
, что для всех
из этой окрестности выполняется неравенство
.
|
|
Определение 3. Экстремумом функции называется точка максимума или минимума функции.
Определение 4. Функция называется возрастающей на множестве
, если для любых значений
и
из области определения:
, и убывающей, если для любых значений
и
из области определения:
.
Теорема 1 (необходимое условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
. Тогда:
1) если функция монотонно возрастает на интервале
, то
на
;
2) если функция монотонно убывает на интервале
, то
на
.
Доказательство. Пусть функция монотонно возрастает на интервале
. Тогда для любых значений
и
из интервала
имеем:
.
Возьмем произвольную точку , придадим аргументу
приращение
так, что
, функция
получит приращение
:
.
Отсюда получаем:
1) если , то
;
2) если , то
.
Таким образом, на интервале
.
Доказательство п. 2) проводится аналогично.
Теорема 2 (достаточное условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
. Тогда, если для любой точки
интервала
, то функция
– возрастающая на интервале
и если
, то
– убывающая на интервале
функция.
Доказательство. Т.к. функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то выполняются теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Рассмотрим точки
. Пусть
. Тогда, по теореме Лагранжа, существует точка
, причем
:
.
1) Если для любого , следовательно, функция
возрастает на отрезке
.
2) Если для любого
, следовательно, функция
убывает на отрезке
.
Теорема 3. Для того, чтобы функция , непрерывная на отрезке
и дифференцируемая на интервале
, была постоянной функцией, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на данном интервале была равна нулю.
Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть для любого
. Тогда для любого
.
2) Достаточность.
Пусть для любого выполняется
.
Выберем два любых :
. Тогда по теореме Лагранжа существует
, где
:
по предположению, следовательно,
– постоянная функция на
.
Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция – дифференцируемая функция.
1) Если в точке первая производная
меняет свой знак с “+” на “–”, то функция
имеет в точке
максимум.
2) Если в точке первая производная
меняет свой знак с “–” на “+”, то функция
имеет в точке
минимум.
Доказательство. Доказательство следует из необходимого и достаточного условия монотонности функции.
Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума). Пусть функция дважды дифференцируема, причем
и
– непрерывные функции. Тогда:
1) если и
– точка максимума функции
;
2) если и
– точка минимума функции
.
Доказательство.
1) Пусть и
. В силу своей непрерывности функция
в некоторой окрестности точки
. Тогда по теореме 2 функция
убывает в этой окрестности. Поскольку
, то функция
меняет в точке
свой знак с “+” на “–”. Следовательно, по теореме 4 функция
имеет в точке
максимум.
2) Пусть и
. В силу своей непрерывности функция
в некоторой окрестности точки
. Тогда по теореме 2 функция
возрастает в этой окрестности. Поскольку
, то функция
меняет в точке
свой знак с “–” на “+”. Следовательно, по теореме 4 функция
имеет в точке
минимум.
Теорема 6 (необходимое условие существования экстремума функции в точке). Пусть функция имеет в точке
экстремум. Тогда производная
либо равна нулю в точке
, либо не существует.
Доказательство. Если в точке
функция достигает экстремума, скажем максимума, то значение функции в этой точке является наибольшим ее значением в некоторой окрестности точки
. Но по теореме Ферма в тех внутренних точках интервала, в которых дифференцируемая функция достигает своего наибольшего значения, ее производная равна нулю. Аналогично проводится рассуждение и для точки минимума.
|
|
130. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Определение. Критическими точками 1-го порядка функции называют точки, в которых первая производная
или не существует.
Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке
. Тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках 1-го порядка, либо на концах отрезка.
Пример. Дана функция . Найти ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке
.
Решение. Найдем критические точки. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:
;
при
и при
. Находим:
,
,
,
.
Таким образом, при
,
при
.
140. Выпуклость и вогнутость функции
Определение 1. Функция называется выпуклой в точке
, если в окрестности этой точки график этой функции лежит по одну сторону от касательной, построенной к графику функции в точке
.
Определение 2. Функция называется выпуклой вверх или просто выпуклой, если ее график в окрестности точки
лежит ниже касательной, построенной к графику в точке
по отношению к оси
.
Определение 3. Функция называется выпуклой вниз или вогнутой, если ее график в окрестности точки
лежит выше касательной, построенной к графику в точке
по отношению к оси
.