- Понятие сходимости числового ряда
Пусть последовательность действительных чисел,
- числовой ряд (1).
Составим последовательность частичных сумм:
последовательность частичных сумм
Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S – его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда
Составляем последовательность частичных сумм:
- Свойства сходящихся рядов
остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.
1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда – ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).
Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:
2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
Доказательство. Доказано.
Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого
|
|
неограниченная, наименьшее слагаемое .
Пример. расходится, т.к.
Предположим, что
противоречие.
3. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда
Доказательство. Доказано.
4. Сходимость ряда не нарушится, если добавить или отбросить конечное число слагаемых.
5. Множество сходящихся радов образуют линейное пространство:
если
6. Критерий Коши: ряд (1) сходится фундаментальная, т.е.
Пример. гармонический ряд (расходящийся).
т.е. не выполнен критерий Коши, ряд расходится.
-функция Римана
Задача. Исследовать сходимость ряда сумма бесконечной геометрической прогрессии. Доказать, что при ряд сходится,
Решение.