Рассуждения, приведенные выше при выводе формулы для электропроводности металла, справедливы как для электронов проводимости, так и для дырок. Для дырочного полупроводника удельная электропроводность дырок
, (7.13)
где p - концентрация дырок.
В общем случае удельная электропроводность определяется как электронами, так и дырками:
. (7.14)
Электронная составляющая проводимости определяется первым слагаемым в формуле (7.14), второе слагаемое связано с дырочной проводимостью полупроводника.
Величина удельной проводимости полупроводника и ее температурная зависимость зависят от концентраций носителей (электронов и дырок) и их подвижностей, которые в свою очередь определяются типом полупроводника.
В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы (n = p = ni = pi, где ni и pi - собственные концентрации носителей). Тогда удельная электропроводность σc собственного полупроводника будет равна
. (7.15)
Электропроводность собственного полупроводника называют собственной электропроводимостью и обозначают обычно σс.
Концентрация электронов в собственном полупроводнике определяется выражением (5.6). Логарифмируя это выражение, получим
. (7.16)
Первое слагаемое в этом выражении слабо зависит от температуры, поэтому график зависимости ln ni от 1/T представляет собой прямую линию (рис. 7.4).
1/T |
lnni |
tgα=Eg/2k |
α |
Рисунок 7.4. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике
Таким образом, концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках зависит от ширины запрещенной зоны Eg и температуры Т. Для германия, например, Eg = 0,72 эВ (при T = 300 K) и концентрация собственных носителей заряда при комнатной температуре составляет приблизительно 2,5·1019 м-3. Для кремния соответственно Eg = 1,1 эВ и
ni = 1,5· 1016 м-3.
Другим фактором, влияющим на температурную зависимость электросопротивления собственных полупроводников, является подвижность носителей заряда.
Температурная зависимость подвижности носителей заряда в полупроводниках определяется механизмами рассеяния носителей в кристалле. В идеальном полупроводнике с собственной проводимостью подвижность определяется рассеянием на тепловых колебаниях решетки (фононах), поскольку идеальный собственный полупроводник - это полупроводник без примесных атомов и рассеяние на примесных атомах отсутствует.
При анализе температурной зависимости подвижности необходимо учитывать, является ли газ носителей невырожденным или вырожденным при данных условиях. Теоретические расчеты и оценки температурной зависимости подвижности носителей заряда в кристаллах при различных условиях схематически представлены на рис. 7.5.
u |
1/T |
u=const |
u~T-1 |
u~T-3/2 |
u~T-3/2 |
Невырожденный газ |
Вырожденный газ |
Рисунок 7.5. Температурные зависимости подвижности
невырожденного и вырожденного газа носителей
В области высоких температур подвижность обратно пропорциональна Т3/2 для невырожденного газа носителей и обратно пропорциональна Т для вырожденного газа носителей.
В области низких температур подвижность невырожденного газа носителей пропорциональна Т-3/2 и не зависит от температуры для вырожденного газа носителей.
В любом случае степенная зависимость от температуры подвижности носителей значительно слабее экспоненциальной температурной зависимости концентрации носителей заряда в собственных полупроводниках. Вследствие этого температурную зависимость удельной электропроводности собственных полупроводников согласно выражению (7.15) в первом приближении можно представить в виде
, (7.17)
где σ0 - значение удельной электропроводности полупроводника при Т=0 К.
Логарифмируя последнее равенство, получим
. (7.18)
Таким образом, график зависимости ln σc от 1/Т представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс пропорционален ширине запрещенной зоны. Это обстоятельство позволяет использовать данные по температурной зависимости электропроводности для нахождения ширины запрещенной зоны полупроводников.