Сущность и показатели вариации

Вариация – это колеблемость признака около средней величины.

Основными показателями вариации являются:

а) размах вариации (R);

б) среднее линейное отклонение ();

в) дисперсия (σ²);

г) среднее квадратическое отклонение (σ);

д) коэффициент вариации (V).

Размах вариации (R) – есть разность между наибольшим (X _max) и наименьшим (X _min) значениями признака в ряду распределения:

R = X _max – X _min

Например, возраст самого молодого студента составляет 17 лет, а самый старший – 26 лет. Разность составит 9 лет.

По величине размаха вариации можно судить о различии между передовыми и отстающими. Например, если самый передовой рабочий выполняет план на 220 %, а самый отстающий – на 80 %, то разность составит 140 %.

Однако этот показатель имеет тот существенный недостаток, что он полностью зависит от отдельных случаев, оказавшиеся на обоих полюсах ранжированного ряда. Между тем, отдельные случаи не всегда достаточно характерны, и опора на них может дать превратное представление о характере колеблемости. Поэтому возникает необходимость в другом показателе, который опирался бы не на одни только крайние значения, а и на значения определённого признака в данной совокупности. Таким показателем является среднее линейное отклонение ().

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину отклонений значений признака от их средней величины. При его расчёте все отклонения берутся со знаком плюс. Расчёт производится по формулам:

простое ,

взвешенное .

Из приведенного выше примера эти отклонения можно представить в графической форме (рис. 5.2).

Из графика видно, что на предприятии № 1 отклонения незначительны, а на предприятии № 2 – велики. Как же можно одним показателем характеризовать размер этих отклонений? Если все эти отклонения сложить, то в сумме получим нуль, так как известно, что сумма отклонений от средней арифметической равна нулю. Если эти отклонения возвести в квадрат, то получим все значения положительными.

Рис. 5.2. Процент выполнения плана по дням недели

на двух предприятиях.

Представим квадраты отклонений в следующей графической форме (рис. 5.3).

Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница

Рис. 5.3. Квадраты отклонений выполнения плана

по двум предприятиям в процентах (по первому они равны 1² + 2,5² + 2,5² +1² +2², т. е. 1 +6,25 +6,25 +1 +4; по второму предприятию соответствующие цифры приведены на графике внутри квадратов).

Получив квадраты разной величины, необходимо исчислить показатель, который характеризовал бы средние размеры квадратов. По каждому предприятию для этого надо сложить площади квадратов и разделить на их число, т. е. мы определяем такой показатель как дисперсия.

Дисперсия, или средний квадрат отклонений вариантов признака от их средней величины, вычисляется по формулам:

простая или ;

взвешенная или .

Затем, возвращаясь к линейному измерению, надо из величины дисперсии извлечь квадратный корень и мы получим наиболее точный показатель – среднее квадратическое отклонение. В нашем примере – это будет величина стороны квадрата.

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

или простое ;

взвешенное .

В отличие от среднего линейного и среднего квадратического отклонения коэффициент вариации является мерой относительной колеблемости признака около средней величины и характеризует степень однородности признака в изучаемой совокупности. Он определяется по форме:

или .

Если коэффициент вариации ≥ 33,3 %, тогда исследуемая совокупность считается неоднородной и должна быть разгруппирована.

Рассмотрим вычисление показателей вариации на примере.