Поверхностный интеграл 2 рода

Потоком векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл

, где – единичный вектор нормали в произвольной точке .

16. Пусть в 3-х мерном пространстве задана некоторая область V. Предположим что каждой точке в области V поставлена в соответствии некоторое число, тогда говорят, что в области V определено скалярное поле. (Задание скалярного поля эквивалентно заданию функции, определенной областью V)

Пусть в некоторой области V поставим в соответствии некий вектор, тогда говорят что в области V задано векторное поле.

Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр

Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,

16,. Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.

Данную формулу можно записать также в координатной форме:

Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.

В координатной форме теорема Стокса может быть записана в следующем виде:

Формула Стокса в символической форме

( - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.

формула Грина

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. Интегральный признак Коши. Примеры.

Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 2

Показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1. Решение. Рассмотрим соответствующую функцию и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1.

Пример 3

Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость. Решение. Оценим несобственный интеграл Сделаем замену: . Тогда . Находим значение интеграла: Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость. Решение. Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда : Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Пример 6

Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл: Интегрируем по частям: Получаем Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя: Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится.

22. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда и оценка остатка.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Признак Лейбница Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть { an } является числовой последовательностью, такой, что 1. an +1 < an для всех n; 2. . Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся. Оценка остатка знакочередующегося ряда Пусть знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница и его сумма равна S. Обозначим через Sn частичную сумму ряда, включающую n членов. Тогда остаток знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше модуля первого отброшенного слагаемого: | S − Sn | < | an +1|.