2015-03-22
346
Глава I Множества. Логика
Грядущие поколения будут
рассматривать теорию множеств
как болезнь, от которой они излечились.
А. Пуанкаре, 1908 год
Определение 1. “Множество – совокупность элементов, обладающих определенными свойствами и связанных между собой или элементами других множеств определёнными отношениями ” (Н. Бурбаки).
Замечание. Подчёркнутые слова не определяются.
Замечание. “Множество есть многое, мыслимое как единое целое” (Г. Кантор – основатель теории множеств).
Определение 2. Задать множество – указать точное правило, с помощью которого о любом элементе можно сказать: является ли он элементом данного множества. Это можно сделать перечислением (для конечных множеств) или указанием характеристического свойства 
, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы задаваемого множества и не обладают никакие элементы никаких других множеств. Обычно множество выделяется из более общего множества, которое называется UNIVERSUM (вселенная) и обозначается буквой U.
Пример. Множество 
– множество, заданное перечислением; множество 
– множество элементов 
, заданное правилом 
. Например, 
– множество тех, и только тех действительных , которые не больше двух.
На универсуме U множества обозначаются кругами, которые называются кругами Эйлера. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, элементы – соответствующими маленькими (рис.1).
| Рис.1Hhhfghfutu6uu1111111111111111111 |
Знак 
означает принадлежность и применяется для элементов, 
– не принадлежать, 
– принадлежать для множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается 
.
Определение 3. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается 
.
Пример. 
; но 
, так как единственным элементом множества 
является упорядоченная пара 
, а множество 
состоит из двух элементов: 1 и 2.
Определение 4. Множество 
есть подмножество множества 
, если 
справедливо 
. Обозначается: 
. Говорят, что множество 
строго включено во множество 
, если 
справедливо, что 
, но 
.
Определение 5. , если и 
(т.е. они состоят из одних и тех же элементов).
Пример. 
, так как единственным элементом множества 
является множество 
.
Определение 6. Рассмотрим множество всех подмножеств конечного множества и обозначим его 
. Таким образом, содержит пустое множество и само множество . Эти подмножества называются несобственными, а остальные собственными (собственно говоря, они и есть нетривиальные подмножества).
Пример. Пусть 
, тогда 
.
| Рис. 2 |
и (
(читается чашка ) называется новое множество 
, элементами которого являются элементы множества или элементы множества : 
(рис.2). Слово “или” употребляется в неразделительном смысле и обозначается значком 
, который называется “ дизъюнкция ” (от лат. disjunctio – разобщение, различие). Тогда 
.
Аналогично даются определения остальных операций над множествами. Мы их просто выпишем.
Определение 
| Рис. 3 |
(читается крышка ).
(рис.3). Слово “и” обычно заменяют значком 
- “конъюнкция” (от лат. conjunctio – союз, связь), и тогда множество описывается так: 
.
| Рис. 4 |
(рис. 4) - все те элементы множества , которые не являются элементами множества .
| Рис. 5 |
(рис.5).
| Рис.6 |
Определение 11. Дополнением множества до универсума называется множество, состоящее из всех тех элементов универсума, которые не являются элементами множества (рис. 6). Обозначают 
.
Определение 12. Характеристической функцией множества называется функция 
.
Легко составить характеристические функции для всех перечисленных операций. Они называются таблицами Буля. С их помощью легко доказываются свойства операций над множествами.
| U |
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |||||||||
