Получим выражение для внутренней энергии и теплосодержания единицы массы жидкости.
Внутренняя энергия единицы массы U зависит от параметров состояния. Так как p, V, T связаны уравнением состояния, то независимыми переменными являются только какие-нибудь два из них, и можно считать: U = U (V, T), где .
Отсюда полный дифференциал внутренней энергии равен
. (3.18)
Чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнение (3.18) и получить расчетную формулу для внутренней энергии, нужно определиться с частными производными и .
Согласно первому закону термодинамики
, (3.18а)
где – количество тепла, получаемое единицей массы жидкости за время ( не является полным дифференциалом). Исключив из выражения (3.18) и (3.18а) дифференциал , имеем следующее:
. (3.19)
Введем понятие удельной теплоемкости с как физической величины, численно равной количеству тепла, которое необходимо сообщить (отнять) единице массы жидкости, чтобы изменить ее температуру на 1 К:
.
Если тепло подводить к единице массы жидкости, сохраняя постоянным объем, то удельную теплоемкость называют теплоемкостью при постоянном объеме – если тепло подводить при p = const – то теплоемкостью при постоянном давлении – В условиях, далеких от сжижения газов, теплоемкость зависит от температуры газа и почти не зависит от давления. Тогда выражение для имеет вид
|
|
.
Таким образом, определился первый коэффициент уравнения (3.18). Для определения воспользуемся выражением для дифференциала энтропии. Энтропия – это функция, которая определяется следующим дифференциальным уравнением:
.
Процессы, протекающие без теплообмена и при отсутствии потерь механической энергии, т. е. при S = const называются изоэнтропическими. С учетом уравнения (3.19) имеем следующее:
.
Так как dS – полный дифференциал, то накрест взятые частные производные от коэффициентов при dT и dV должны быть равны между собой. То есть
.
После дифференцирования и сокращения получаем . Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением состояния. Для идеальных газов . Отсюда , т. е. и . Для реальных газов, подчиняющихся уравнению состояния Ван-дер-Ваальса
.
Теперь можно получить выражения для внутренней энергии (для идеального и реального газа):
(3.20)
где – внутренняя энергия жидкости при температуре Т = 0 К; для идеального газа .
Установим связь между теплоемкостями и . Если уравнение состояния идеального газа разрешить относительно V, то получим
и .
Из выражения (3.19) можно записать следующее:
.
Тогда при p = const
.
Для идеальных газов ; из уравнения состояния и . Отсюда . Отношение удельных теплоемкостей обозначим , тогда , а .
|
|
Для реальных газов , и .
С учетом полученных зависимостей выражение для теплосодержания единицы массы неподвижного идеального газа (энтальпии) следующие:
.
Считая, что не зависит от температуры, выражение для энтальпии можно представить следующим образом:
.
Получим выражение для энтропии идеального газа. Так как , и , то, считая R и постоянными, выражение для дифференциала энтропии можно привести к виду
,
,
.
После интегрирования получаем следующее:
. (3.21)
Если рассматривается изоэнтропический или адиабатический процесс, для которого характерно постоянство энтропии (S = const), то и второе слагаемое в выражении (3.21) должно быть неизменным, т. е.
. (3.22)
Выражение (3.22) носит название адиабаты Пуассона, и в соответствии с этим показатель степени в этом выражении k называют показателем адиабаты. Соотношение (3.22) имеет место в частице, и может изменяться от частицы к частице. При установившемся движении на линии тока.
Предположение о постоянстве и , при котором получено соотношение (3.22), справедливо в определенном диапазоне температур, зависящем от физических свойств газа. Величина показателя адиабаты зависит от структуры молекул газа: для одноатомных газов и ; для двухатомных, к которым можно отнести и воздух, и ; для трехатомных .
Интегралы дифференциальных уравнений Эйлера
В общем виде дифференциальные уравнения движения Эйлера не интегрируются. Их интегралы можно найти только для некоторых частных случаев. Рассмотрим порядок нахождения интегралов:
1) для потенциального неустановившегося движения;
2) для установившегося непотенциального движения сжимаемого газа.