1. Если каждому набору переменных из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной , то говорят, что задана функция нескольких переменных .
Множество называется областью определения функции.
2. График функции двух переменных есть множество точек трехмерного пространства () и представляет собой, как правило, некоторую поверхность.
Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно . Число в этом случае называется уровнем.
3. Число называется пределом функции при,, если для любого числа найдется , зависящее от , такое, что для всех точек , отстоящих от точки не более, чем на , выполняется неравенство .
15.1. Найти область определения функции .
Решение. Область определения представляет собой решение системы неравенств:
Множество значений х, у, удовлетворяющих (*), представляет собой внутренность круга с центром (0; 0) и радиусом, равным 2. Решения (**) – внешность круга радиуса 1 с центром (0; 0). Условие (***) означает, что в область определения не входит окружность с центром в начале координат и радиусом, равным . Таким образом, область определения представляет собой два кольца (см. рис. 15.1).
|
|
15.2. Построить графики функций:
а) ; б) .
Решение:
а) Так как , график расположен выше плоскости . Его сечения плоскостями
и представляют собой полуокружности радиуса 3 с центром в начале координат. «Нижняя» граница графика (пересечение с плоскостью )представляет собой окружность радиуса 3 (рис.15.2).
б) В этом случае сечения графика плоскостями и представляют собой параболы с вершиной в точке (0;0;9) и ветвями, направленными вниз. Сечение плоскостью есть окружность с центром в начале координат и радиуса 3. Функция не ограничена снизу. Ее график представлен на рис. 15.3.
15.3. Построить линии уровня функции .
Решение. Линии уровня имеют вид , т.е. представляют собой график функции . Функция определена при , имеет правостороннюю асимптоту, ось абсцисс, вертикальную асимптоту – ось ординат. Единственная критическая точка - это точка максимума. Значение функции при этом . Таким образом, линии уровня имеют вид, показанный на рис. 15.4.
15.4. Найти предел
Решение. Обозначим . Тогда условие равносильно тому, что и искомый предел примет вид:
(применили правило Лопиталя).
15.5. Исследовать на непрерывность в точке (0;0) функцию .
Решение. Будем приближаться к точке (0;0) по направлению прямых . Тогда будем иметь .
Значения пределов различны при различных , следовательно, предела функции двух переменных не существует, и функция не является непрерывной в точке (0;0).
|
|
Найти области определения функций:
15.6. 15.7. 15.8.
15.9. 15.10. 15.11.
15.12. 15.13. .
Найти линии уровня функции в явном виде y = g(x,C):
15.14. 15.15. 15.16.
15.17. 15.18. 15.19.
15.20.
Найти пределы:
15.21. | 15.22. | 15.23. |
15.24. | 15.25. | 15.26. |
15.2. Частные производные, градиент, дифференциал