1. Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками
В каждом из отрезков разбиения выберем произвольно точку и положим , где . Тогда сумма вида
(11.1)
называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Пусть существует и конечен предел интегральной суммы (11.1) при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка , не зависящий от способа разбиения отрезка на части и способа выбора точек на отрезках разбиения. Тогда функции называется интегрируемой на , а число - определенным интегралом от на , и обозначается :
(11.2)
Достаточным условием интегрируемости функции является ее непрерывность на рассматриваемом отрезке.
2. Свойства определенного интеграла:
1) где - некоторое число. (11.3)
2) . (11.4)
3) (11.5)
4) (11.6)
5 (11.7)
6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение ,что
(11.8)
7) Если функция - четная, то
(11.9)
Если функция – нечетная, то
(11.10)
8) Формула Ньютона –Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции равен приращению любой ее первообразной на этом отрезке:
|
|
, (11.11)
или
9) Замена переменной в определенном интеграле. Если функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждом точке , где , то
(11.12)
10) Интегрирование по частям определенного интеграла. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то
. (11.13)
11.1. Методы вычисления определенного интеграла
11.1. Вычислить определенные интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Решение:
а) используя эквивалентное преобразование подынтегральной функции (почленное деление числителя на знаменатель) и свойства (11.3),(11.4) определенного интеграла, получаем
.
Все три интеграла – табличные; согласно (11.11), окончательно имеем:
.
б) Так как
то (см. (11.7))
в) Воспользуемся заменой переменной: пусть . Тогда . Найдем пределы интегрирования по переменной t: если , то ;если , то .Искомый интеграл теперь принимает вид:
.
г) Воспользуемся формулой (11.13) интегрирования по частям: пусть . Тогда , и (см .(10.13))
д) Как было отмечено выше (см. § 10.3), данный интеграл находиться с помощью последовательного применения формулы интегрирования по частям. Пусть . Тогда , и (см. (11.13)).
.
Для нахождения последнего интеграла вновь применяем формулу (11.13): , . Тогда , и
.
е) Воспользуемся тригонометрической подстановкой . Будем полагать, что . Если , то ; если , то . Тогда и
.
Так как при , . Применяя тригонометрическую формулу понижения степени, получаем:
Вычислить определенные интегралы:
11.2. . 11.3. . 11.4. . 11.5. .
11.6. . 11.7. . 11.8. . 11.9. .
11.10. . 11.11. . 11.12. . 11.13. .
11.14. . 11.15. . 11.16. . 11.17. .
|
|
11.18. . 11.19. . 11.20. . 11.21. .
11.22. . 11.23. . 11.24. . 11.25. .
11.26. . 11.27. . 11.28. . 11.29. .
11.2. Геометрические приложения определенного интеграла.