Если частные производные и функции сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка, то есть
, , , .
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если частные производные второго порядка функции непрерывны в точке , то в этой точке смешанные частные производные равны, то есть .
Пример. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Так как , , то
, ,
, .
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая - окрестность точки , что во всех ее точках , отличных от , выполнятся неравенство ().
|
|
Рис. 9 |
На рисунке 9: – точка максимума, а – точка минимума функции . Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , .
Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельна плоскости , так как уравнение касательной плоскости есть .
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке , (см. рис. 10), но не имеет в этой точке частных производных.
Рис. 10 |
Точки, в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, то есть и , и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Условия и являются необходимыми, но не достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для функции точка (0,0) является критической (в ней и обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой точке нет (см. рис. 11).
Рис. 11 |
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно причем , , .
Обозначим
.
Тогда:
1) если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если , и минимум, если ;
2) если , то функция в точке экстремума не имеет;
|
|
3) если , то экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример. Найти точки экстремума функции .
Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка: , . Точки, в которых частные производные не определены отсутствуют.
2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
Отсюда получаем две точки: и .
3) Находим частные производные второго порядка данной функции: , , .
4) В точке имеем: , , , отсюда , то есть – точка экстремума. Так как , то – точка максимума.
В точке : , , , отсюда . Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке равно нулю. Рассмотрим точки из окрестности точки такие, что , тогда , а теперь рассмотрим точки из той же окрестности, но с условием , : . Таким образом, в любой окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.