Во многих случаях можно упростить, если вместо ввести новую переменную , положив
, (2)
тогда
.
Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно привести к новой переменной его подынтегральное выражение
, (3)
где
,
в справедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).
Метод подстановки, или, как его также называют, метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти подстановку, ведущую к желаемой цели. Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом подстановки.
Пример. Найти .
Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл , сходный с данным. Поэтому введем новую переменную , связанную с зависимостью: , . Дифференцируя это равенство, получим: , , откуда . Подставив результат в данный интеграл, имеем:
|
|
Возвращаясь к переменной , находим:
.
Для надежности проверяем результат дифференцированием:
– верно.