Общее уравнение прямой

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости задана точка и вектор . Требуется составить уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной вектору . (см. рис. 13)

Выберем произвольную точку на прямой . Тогда вектор лежит на прямой . Так как прямая перпендикулярна вектору по условию, то и вектор перпендикулярен вектору , а значит , откуда

. (3.1)

Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор является вектором нормали прямой .

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной вектору , если и .

Решение. Находим координаты вектора , являющимся вектором нормали прямой :

.

Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки , то есть , и координаты вектора , то есть , , находим искомое уравнение прямой :

: или

: или

:

Ответ: .

Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:

или .

Обозначив , получаем общее уравнение прямой на плоскости вида:

. (3.2)

Исследуем уравнение (3.2):

1. При , , уравнение (3.2) примет вид:

.

Разделив обе части последнего уравнения на

или ,

обозначив , получаем уравнение прямой на плоскости в «отрезках» вида:

, (3.3)

где и величины отрезков, которые прямая отсекает от осей координат (см. рис. 14).

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид (3.3), то есть . Так как по условию, то уравнение (3.3) можно переписать в виде: или .

Поскольку точка лежит на прямой , то подставляя ее координаты , в последнее уравнение, находим: , откуда . Следовательно, – уравнение искомой прямой.

Ответ: .

Пример. Построить прямую .

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3):

; ;

; .

Отметим на оси точку , а на оси точку и через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 16).

Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

или .

Обозначив , , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом :

(3.4)

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси (см. рис. 17), то есть .

Из рисунка 17 следует, что для любой точки выполняется равенство .

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и образующей с положительным направлением оси угол .

Решение. Пусть искомое уравнение прямой запишется в виде (3.4) . По условию , значит , следовательно .

Поскольку точка лежит на прямой , то подставляя в последнее уравнение , находим: , откуда .

Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид: .

Ответ: .

Пусть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

,

где – пока неизвестная величина.

Так как точка лежит на прямой , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой , то есть имеет место равенство: , откуда . Подставляя значение в уравнение , получаем: или

(3.5)

Уравнение (3.5) с различными значениями называется также уравнением пучка прямых с центром в точке .

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси , так как .

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку пересечения прямых и и образующей с положительным направлением оси угол .

Решение. Координаты точки пересечения прямых и находим из системы уравнений этих прямых:

Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: , откуда . Тогда .

Итак, координаты точки .

По условию , значит . Подставляя в уравнение (3.5) и , находим искомое уравнение прямой

или

или

.

Ответ: .

2. При , , уравнение (3.2) примет вид: .

Это уравнение прямой , проходящей через начало координат – точку и точку . (См. рис. 18)

Пример. Построить прямую .

Решение. Уравнение прямой является общим уравнением прямой на плоскости , , , проходящей через точку и точку . (См. рис. 19)

3. При , , уравнение (3.2) примет вид: или . Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси и проходящей через точку . (См. рис. 20)

Пример. Построить прямую .

Решение. Уравнение прямой является общим уравнением прямой на плоскости , , , параллельной оси и проходящей через точку . (См. рис. 21).

4. При , , уравнение (3.2) примет вид: или .

Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси и проходящей через точку . (См. рис. 22)

Пример. Построить прямую .

Решение. Уравнение прямой является общим уравнением прямой на плоскости , , параллельной оси и проходящей через точку . (См. рис. 23)

5. При , , уравнение (3.2) примет вид: или . Это уравнение координатной оси (См. рис. 24)

6. При , , уравнение (3.2) примет вид: или . Это уравнение координатной оси . (См. рис. 25)

Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.

Выведем уравнение прямой , проходящей через две заданные точки и на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат. (См. рис. 26)

Поскольку точка лежит на прямой то, подставляя и в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой имеет вид:

, (3.6)

где – пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит и через точку , то ее координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть:

, откуда .

Подставляя найденное значение в уравнение (3.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки и :

(3.7)

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точки и .

Решение. Подставляя в уравнение (3.7) , и , , находим искомое уравнение прямой :

; ; ; , следовательно, .

Ответ: .