.
Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях неопределенности и
рассматривается в дифференциальном исчислении.
Пусть функция от
, имеющая пределом число
, когда
стремится к числу
. Предположим, что все значения величины
меньше, чем число
, то есть
. Символически это выражается очень удобной записью:
(вместо
). Тогда предел
называют пределом функции
в точке
слева или левосторонним пределом.
Аналогично, при , то есть
предел
называют пределом функции
в точке
справа или правосторонним пределом.
Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.
Дадим определение непрерывности функции в точке.
Функция называется непрерывной в точке
, если:
1) функция определена в точке
и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку
;
2) функция имеет одинаковые односторонние пределы в этой точке
, то есть
;
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению функции в этой точке
:
.
Функция называется разрывной в точке
, если она определена в сколь угодно малой окрестности точки
, но в самой точке
не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
|
|
Точки разрыва функции можно разделить на два типа.
Точка разрыва функции
называется точкой разрыва 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке
не существует или равен бесконечности, то
– точка разрыва функции 2-го рода.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график .
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось, то есть
. Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки
и
, так как при переходе через эти точки функция
меняет свое аналитическое выражение с дробно – рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.
Исследуем непрерывность функции в точке
:
Поскольку условие непрерывности функции в точке
нарушается, то
– точка разрыва функции
, т.к. левосторонний предел функции
в точке
равен бесконечности, то
– точка разрыва 2-го рода.
Исследуем непрерывность функции в точке
:
Условие непрерывности функции в точке
выполняется, значит, функция
в точке
непрерывна.
Построим график функции :