Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых точек , таких, что , имеет место неравенство: .
Дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает) на интервале , тогда и только тогда, когда для любого : .
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если:
1) функция определена в некоторой - окрестности точки ;
2) для любого из - окрестности точки справедливо неравенство: (См. рис. 60 и 61).
Точкимаксимума и минимума функции называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума: если – точка экстремума функции , то в этой точке либо , либо производная не существует.
Достаточные условия экстремума: пусть функция дифференцируема и непрерывна в – окрестности критической точки кроме, быть может, самой точки , тогда, если ее первая производная меняет знак минус на плюс (плюс на минус) при переходе через точку , то – точка максимума (минимума) функции .
Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .
|
|
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось , кроме точки , то есть .
Находим первую производную:
.
Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:
или , откуда или .
не существует , откуда .
Используем достаточные условия экстремума. Наносим три критические точки ; ; на область определения функции . Они разбивают область на четыре интервала. Определяем знак функции в каждом интервале.
Так как и при переходе через эту точку меняет знак плюс на минус, то – точка максимума функции .
Так как и при переходе через эту точку меняет знак минус на плюс, то – точка минимума функции .
Так как при любом или , то в интервалах и функция монотонно возрастает.
Так как при любом или , то в интервалах и функция монотонно убывает.