Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

СМО имеет один канал.

Входящий поток имеет интенсивность λ.

Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок).

Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

P_n - вероятность того, что в системе находится n заявок.

ρ=λ/μ - приведенная интенсивность потока.

Вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:

С учетом этого можно обозначить

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:

относительная пропускная способность системы:

абсолютная пропускная способность:
А = q ∙λ;
среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
W_q = W_s - 1/μ;
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
L_q =λ(1- P_N) W_q.

Задана 4.2.: Дана одноканальная СМО.

Ограничение на очередь - 3 места (т.е. N — 1=3 и если в этом случае появляется четвертая заявка, то она уходит из очереди).

Поток заявок имеет интенсивность λ =0,85 (заявок в час).

Время обслуживания заявки в среднем равно t_об =1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики СМО, работающего в стационарном режиме.
Решение
μ=1/ t_об=1/1,05=0,952

ρ=λ/μ=0,85/0,952=0,893
=0,248
P₁=r∙P₀=0,893∙0,248=0,221;
P₂=r²∙P₀=0,893²∙0,248=0,198;
P₃=r³∙P₀=0,893³∙0,248=0,177;
P₄=r⁴∙P₀=0,893⁴∙0,248=0,158.

P_отк=Р₄=r⁴∙P₀≈0,158.

q=1–P_отк=1-0,158=0,842.

А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (заявок в час).
Среднее число заявок, находящихся на обслуживании и в очереди:

Среднее время пребывания заявки в системе:

часа.
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
W_q=W_s-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.
Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
L_q=λ∙(1-P_N)∙W_q=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.
Работу СМО можно считать удовлетворительной, так как СМО не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р_отк=0,158).