Многоканальная СМО с отказами

В многоканальных СМО параллельно могут обслуживаться несколько заявок.

Процесс характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок).

Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ. Режим функционирования канала не влияет на режим функционирования других.

Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Стационарное решение системы имеет вид:

где ρ=λ/μ,

Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга.

вероятность отказа:

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналов заняты.

вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы) дополняет Р_отк до единицы:

а бсолютная пропускная способность

среднее число каналов, занятых обслуживанием () следующее:

Величина характеризует степень загрузки СМО.

Задача 4.4.: Пусть n -канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n =3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ=1 задача в час.

Средняя продолжительность обслуживания t_об=1,8 час.
Требуется вычислить значения:
- вероятности числа занятых каналов ВЦ;
- вероятности отказа в обслуживании заявки;
- относительной пропускной способности ВЦ;
- абсолютной пропускной способности ВЦ;
- среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.
Решение.

Таким образом, в СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех – остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р₃= 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.
Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу вероятности отказа:

Составим следующую таблицу:

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при n = 6 вероятность отказа в обслуживании (Р_отк) составляет 0,0078.