Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Формула Ньютона-Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ]. Если x ∈ [ a, b ], то функция f (x) также интегрируема на любом отрезке [ a, x ]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [ a, b ], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл

с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф (x):

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования. Интег­рал (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Теорема 3. Производная интеграла от непрерывной функции по пере­мен­ному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [ a, b ] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф (x), а так как всякая другая первообразная функции f (x) может отличаться от данной Ф (x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом

Теорема 4. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то

, (10)

где F(x) − некоторая первообразная функции f(x).

Формула (10) называется формулой Ньютона-Лейбница. Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать как

где

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего преде­лов интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница открывает широкие возможности для вы­числения определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вы­чис­ления неопределенных интегралов.

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, получим

Теорема 5. Если f(x) − непрерывная, φ(x), ψ(x) − дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x

6p>

Пример. Найти производную по x от интеграла

Решение. Здесь

φ? (x) = 2 x,

Пользуясь формулой (12), получим