Как уже говорилось, при пересечении поверхностей двух многогранников образуется замкнутая ломаная пространственная линия. Поверхность одного многогранника может проходить сквозь поверхность другого многогранника полностью или частично.
При полном взаимном пересечении образуются две замкнутые ломаные линии (рис. 303). При неполном взаимном пересечении — одна (рис. 304). Ломаная линия пересечения состоит из отрезков прямых линий. Каждый отрезок представляет собой линию по которой пересеклась грань одного многогранника с гранью второго многогранника. Вершины ломаной линии представляют собой точки, в которых пересеклись ребра одного многогранника с гранями или ребрами другого.
Построение линии взаимного пересечения двух многогранников сводится к следующим построениям.
1. Строят точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго многогранника и ребер второго многогранника с гранями первого многогранника. Каждое ребро представляет собой прямую, которая пересекает поверхность другого геометрического тела, т. е. грань. Следовательно, решение задачи сводится к построению точки пересечения прямой с плоскостью.
|
|
2. Пересечение ребер двух многогранников следует рассматривать как пересечение двух прямых.
3. Линию пересечения двух граней следует рассматривать как линию пересечения двух плоскостей.
Построение линии взаимного пересечения поверхностей двух призм является самым простым случаем в решении подобных задач, если их боковые грани проецирующие.
На рис. 303 показано построение линии взаимного пересечения двух призм, боковые грани которых являются проецирующими. При решении этой задачи, сначала определяют, на какой из плоскостей проекций будет видна линия взаимного пересечения, и строят точки пересечения ребер боковой поверхности одной из призм, в данном случае — четырехугольной, с гранями второй призмы. Затем строят точки пересечения ребер боковой поверхности второй (пятиугольной) призмы с гранями первой призмы. Линия взаимного пересечения принадлежит одновременно боковым поверхностям двух призм. Поскольку боковая поверхность пятиугольной призмы является проецирующей на горизонтальную плоскость проекций, то на этой плоскости проекция линии взаимного пересечения совпадет с горизонтальной проекцией боковой поверхности данной призмы, т. е. со сторонами пятиугольника. По отношению к профильной плоскости проекций проецирующей является боковая поверхность четырехугольной призмы. Проекция линии взаимного пересечения совпадет с профильной проекцией боковой поверхности этой призмы, т. е. со сторонами четырехугольника.
|
|
Следовательно, линия взаимного пересечения не будет видимой ни на горизонтальной, ни на профильной проекциях, так как ее проекции сливаются с. проекциями сторон оснований призм. На фронтальную плоскость проекций грани боковых поверхностей обеих призм проецируются прямоугольниками, и линия их пересечения будет видна. Сначала определяют точки пересечения ребер четырехугольной призмы с поверхностью пятиугольной призмы.
Для этого используют фронтальную и горизонтальную проекции. На горизонтальной проекции отчетливо видны точки входа и выхода всех боковых ребер. С помощью линий проекционной связи строят эти точки на соответствующих фронтальных проекциях ребер. Построенные на фронтальной проекции точки а', е', т', с', k' и b', f', п', d',i' соединяют отрезками в соответствующем порядке. Будет две линии пересечения: А, Е, М, С, К и F, N, D, I, В (рис. 303).
При обводке этих линий необходимо определить видимость отрезков, из которых она. состоит. Поскольку линия взаимного пересечения принадлежит и тому, и другому многограннику, видимой будет та точка, принадлежащая линии взаимного пересечения, которая лежит на видимых гранях обеих призм. По горизонтальной и профильной проекциям определяют видимость граней призмы. Зная это, можно определить видимость лежащих на них отрезков, которые составляют линию взаимного пересечения. Отрезки а'е' и b'f׳ линии взаимного пересечения будут видимыми, а отрезки е'т', f'n', m'c', n'd' линии взаимного пересечения будут невидимыми. Причем отрезки a'k', k'c', b'i', i'd' совпадут с проекцией нижней грани четырехугольной призмы.
Для построения линии взаимного пересечения двух призм в аксонометрии достаточно на горизонтальной проекции измерить расстояния от боковых оснований четырехугольной призмы до точек входа и выхода на пятиугольной призме и соответственно отложить их в аксонометрии. Точки Е и F можно отметить сразу. Построенные точки соединяют отрезками. Отрезки АЕ, ЕМ и FB линии взаимного пересечения будут видимыми.
Построение линии взаимного пересечения поверхностей пирамиды и призмы. Сначала анализируют расположение многогранников относительно плоскостей проекций и их взаимное расположение. Определяют, на каких проекциях проекция линии взаимного пересечения будет видна и ее нужно строить, а на каких проекциях она сливается с отрезками, в которые проецируются боковые грани одного из многогранников. Поскольку на рис. 304 у призмы боковая поверхность является профильно-проецирующей, то линия взаимного пересечения на профильной проекции совпадет с проекцией боковой поверхности призмы, т. е. со сторонами треугольника.
На фронтальной и горизонтальной проекциях грани боковой поверхности пирамиды проецируются в треугольники, а боковой поверхности призмы — в четырёхугольники. Линия пересечения изобразится на этих проекциях замкнутой ломаной линией. Для ее построения определяют точки пересечения ребер сначала боковой поверхности одного геометрического тела с боковыми гранями второго, а потом — наоборот. Некоторые точки, принадлежащие линии взаимного пересечения, можно построить, используя линии проекционной связи, для других необходимы дополнительные построения При построении точек пересечения ребер пирамиды с гранями призмы, сначала используют профильную проекцию, на которой видно, как ребро пирамиды SA пересекается с верхней гранью призмы в точке 1, а с нижней гранью в точке 2. С помощью линий проекционной связи строят фронтальную и горизонтальную проекции этих точек. Профильные проекции s"b" и s"d" ребер пирамиды сливаются в один отрезок, и точки пересечения их с проекциями боковых граней призмы попарно совпадают. Так, ребро SB пересекается с призмой в точках 3 и 6", а ребро SD — в точках 7 и 10.
|
|
С помощью линий проекционной связи строят их фронтальные и горизонтальные проекции. Ребро пирамиды SC в пересечении не участвует.
Итак, рассмотрены все ребра боковой поверхности пирамиды. Теперь переходят к определению и построению точек пересечения боковых ребер призмы с гранями пирамиды. На профильной проекции видно, что одно ребро в пересечении не участвует. Верхнее и нижнее ребра призмы проходят сквозь боковую поверхность пирамиды, но построить их точки пересечения можно только прибегая к дополнительным построениям. Для этого через верхнее ребро проводят фронтально-проецирующую плоскость Р и в пересечении боковой поверхности пирамиды с этой плоскостью получают четырехугольник. Строят его горизонтальную проекцию (на рис. 304 проведены только две стороны четырехугольника, участвующие в построении) и находят точки 5 и 8, в которых горизонтальная проекция верхнего ребра пересеклась с горизонтальной проекцией четырехугольника. Затем с помощью линий проекционной связи строят фронтальные проекции точек пересечения 5' и 8'. Через нижнее ребро призмы проводят фронтально-проецирующую плоскость R.
На горизонтальной проекции строят линию пересечения (на рис. 304 проведено только две ее стороны) и определяют точки, в которых проекция нижнего ребра пересекается с ними. Это горизонтальные проекции точек 4 и 9. С помощью линий проекционной связи строят на фронтальной проекции точки 4' и 9'.
Построенные точки соединяют отрезками и определяют их видимость. Точки 1, 6 и 7 принадлежат верхней грани призмы и ребрам пирамиды SB, SD и SA, видимым как на фронтальной, так и на горизонтальной проекции, следовательно, отрезки 1 6, 1 7 изображаются видимыми. Точки 2,3 и 10 принадлежат ребрам пирамиды SB, SD и SA и нижней грани призмы, видимым на фронтальной проекции, значит, отрезки 2 3 и 2 10 будут видимыми. На горизонтальной проекции отрезки 2 3 и 2 10 будут невидимыми.
|
|
Отрезки 4 5 и 8 9 принадлежат граням призмы и пирамиды, невидимым на фронтальной проекции, значит эти отрезки будут здесь невидимыми. Задняя грань призмы является проецирующей относительно плоскости H, поэтому проекции отрезков 5 4-и 8 9 сольются с проекцией этой грани на плоскости Н.
Рассмотрим построение линии взаимного пересечения в прямоугольной изометрической проекции. Расстояние до точек 5 и 8 измеряют на фронтальной или горизонтальной проекциях и откладывают от точки Е. Так же строят точки 4 и 9. Все остальные точки находятся в пересечении ребер боковой поверхности пирамиды с перпендикулярами, проведенными от вторичных горизонтальных проекций точек, предварительно построенных в изометрии на основании пирамиды. Полученные точки соединяют отрезками. Отрезки 1 6, 6 5 и 1 7 будут видимыми, так как верхняя грань призмы видимая в этой аксонометрии. Остальные отрезки линии взаимного пересечения изображены штриховой линией, так как не видны.