Введение. Под распределением Больцмана понимают зависимость концентрации частиц газа от их потенциальной энергии во внешнем поле

Под распределением Больцмана понимают зависимость концентрации частиц газа от их потенциальной энергии во внешнем поле:

, (1)

где - концентрация частиц в точке пространства, заданной радиусом-вектором , - концентрация частиц в точке, где потенциальная энергия частицы равна нулю, - потенциальная энергия частицы в точке пространства, заданной радиусом-вектором , k - постоянная Больцмана, T- абсолютная температура газа.

Наиболее логичным экспериментальным способом изучения распределения Больцмана было бы измерение концентрации частиц изотермического газа в различных точках потенциального поля. В то же время экспериментальная реализация поля, в котором потенциальная энергия частиц изменялась бы непрерывно или хотя бы принимала ряд дискретных значений, весьма не простая задача. Гораздо проще выглядит ситуация, когда потенциальная энергия частиц может иметь всего два значения. Такая ситуация реализуется в двухфазных системах, например металл - вакуум, если в качестве исследуемого газа выбран электронный газ. Потенциальные энергии электронов в металле и в вакууме отличаются на величину работы выхода Е. Под работой выхода понимают потенциальный барьер, который должен быть преодолен электронами, прежде чем они выйдут из металла в вакуум (рис.1). Пока металл имеет комнатную температуру, число электронов, имеющих кинетическую энергию, достаточную для преодоления работы выхода, чрезвычайно мало. С увеличением температуры число таких электронов существенно возрастает. Измеряя зависимость концентрации электронов в вакууме (электронов термоэмиссии или термоэлектронов) от температуры металла, можно судить о выполнении соотношения (1) и определить работу выхода электронов из металла.

Рис. 1. Зависимость потенциальной энергии U электронов от их пространственной координаты х на границе металл-вакуум

Непосредственное измерение концентрации термоэлектронов есть трудновыполнимая задача, поэтому обычно измеряют ток термоэлектронов, который связан с концентрацией соотношением:

, (2)

где е - заряд электрона, - средняя скорость теплового движения электронов, S - площадь эмиттирующей поверхности металла. Множитель появляется в силу равновероятности всех направлений. В выражении (2) от температуры зависит не только концентрация, но и средняя скорость теплового движения электронов. По теории Друде – Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Применяя выводы молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов: , где m_е - масса электрона. С учетом этого для тока термоэмиссии получаем:

, (3)

где С- константа, - концентрация электронов в металле, E- работа выхода.

Выражение (3) известно под названием формулы Ричардсона. Формула (3) приближенна, так как исходит из представления об электронном газе, как газе классическом. Квантовая теория металлов приводит к более точному выражению:

, (4)

в котором В - константа, а вместо присутствует .

Это различие не столь существенно, ибо зависимость тока эмиссии от температуры определяется главным образом экспоненциальным множителем. Справедливость выражения (4) и требуется проверить в ходе лабораторной работы. Подтвердив это выражение, мы тем самым подтвердим и закон Больцмана (1). Для подтверждения какой-либо зависимости требуется свести ее к линейной. В данном случае это достигается логарифмированием выражения (4):

(5)

Поскольку изменяется очень медленно по сравнению с последним членом выражения (5), то с достаточной точностью выражение (5) можно представить:

(6)

Это означает, что экспериментальные точки, нанесенные на график в координатах , должны укладываться на прямую в пределах погрешности измерений. Производя сравнение этой прямой с ее уравнением (6), можно определить работу выхода Е.