Тема:Поток вектора через замкнутую поверхность.Теорема Гаусса – Остроградского.Дивергенция векторного поля

§1. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского.

Теорема 4.1: Если в некоторой области G пространства координаты вектора

непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора через любую замкнутую кусочно гладкую поверхность Σ, расположенную в области G, равен тройному интегралу от по области V, ограниченной поверхностью Σ:

(4.1)

(формула Гаусса-Остроградского).Нормаль к поверхности Σ берётся внешняя.

Пример 4.1. Вычислить поток вектора

через замкнутую поверхность

x² + y² + z² = R², z = 0 (z>0).

Решение. По формуле 4.1

(4.2)

Интеграл (4.2) удобно вычислять в сферических координатах . Имеем

и элемент объёма

так что

Пример 4.2. Вычислить поток вектора через поверхность тора.

Решение. Воспользовавшись теоремой Гаусса-Остроградского, получим, что искомый поток П равен

где V – объём тора. Чтобы вычислить объём V, воспользуемся теоремой Гюльдена об объёме тела вращения, в силу которой этот объём равен произведению площади вращающейся фигуры на путь, описываемый центром масс этой фигуры при вращении.

Пусть R₁  и R₂  - внутренний и внешний радиусы тора (рис.4.1). Площадь S круга, который при вращении образует тор, равна

Длина пути, описываемого центром масс – центром этого круга, - есть длина l окружности радиуса , то есть.

Таким образом, объём V тора равен

Искомый поток

 

Z R1 X R2 Рисунок 4.1

Z n° σ1 k j Y i σ2 X n°=-k Рисунок 4.2

Пример 4.3. Используя теорему Гаусса – Остроградского, вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности z = 1 - x² - y², расположенной над плоскостью XOY.

Решение. Для того чтобы можно было применить теорему Гаусса – Остроградского, замкнем снизу данную поверхность куском плоскости XOY, который ограничен окружностью

Пусть v – объём полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно гладкой поверхностью σ, состоящей из части σ₁ параболоида вращения z = 1 - x² - y² и части σ₂ плоскости z = 0. (рис. 4.2).

Поток данного вектора через поверхность σ по теореме Гаусса – Остроградского равен

Находим сумму

Следовательно, поток

В силу аддитивности потока будем иметь

Отсюда искомый поток

Поток П₂ вектора а через круг равен

Так как на плоскости z=0 имеем

и следовательно (a,n°) = 1, то поток П₂ через круг σ₂ будет равен площади круга σ₂

Искомый поток П₁ = -П₂ = -π

§2. Дивергенция векторного поля.

Понятие потока вектора через замкнутую поверхность приводит к понятию о дивергенции или расходимости поля. Это понятие даёт некоторую количественную характеристику поля в каждой его точке.

Пусть М – изучаемая точка поля. Окружим её поверхностью Σ произвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса. Область, ограниченная поверхностью Σ, пусть будет (V), а её объём V. Рассмотрим отношение

(4.3)

Определение 4.1. Если отношение (4.3) имеет конечный предел, когда область (V) стягивается к точке М, то этот предел называется дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точке М и обозначают символом div a (M). Так что

(4.4)

Формула (4.4) даёт инвариантное определение дивергенции. Это определение означает, что дивергенция поля а в точке М есть объёмная плотность потока вектора а в этой точке.

Точки М векторного поля а(М), в которых div a>0, называются источниками, а точки, в которых div a<0 называются стоками векторного поля.

Дивергенция векторного поля есть скалярная функция точек поля.

Если координаты вектора

a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k

имеют непрерывные частные производные в окрестности точки М(x, y, z), то, пользуясь инвариантным определением дивергенции, из теоремы Гаусса – Остроградского получаем, что

(4.5)

Все величины в формуле (4.5) рассматриваются в одной и той же точке М(x, y, z).

Используя формулу (4.5) для дивергенции, можно теорему Гаусса – Остроградского (см. §1) записать в векторной форме

(4.6)

Пример 4.4. Пользуясь инвариантным определением, вычислить дивергенцию вектора a = xi в точке О(0, 0, 0), выбрав в качестве поверхностей σ окружающих точку О, сферы σ_ε радиуса ε с центром в этой точке.

Решение. По определению дивергенции в данной точке имеем

где v _ε – объём шара, ограниченного сферой σ_ε, или

Но так как объём шара равен то

Вычислим поток данного вектора через сферу σ_ε. Орт нормали n ° к сфере σ_ε направлен по радиусу сферы, поэтому можно положить:

где r ° - орт радиуса-вектора r = xi + yj + zk, или

Искомый поток будет равен

Переходя к координатам на сфере σ_ε

получим

Следовательно

Пример 4.5. Вычислить div r.

Решение. Имеем = xi + yj + zk, так что P = x, Q = y, R = z и, значит, по формуле (4.5)

Пример 4.6. Вычислить div(u,a), где u(M) – скалярная функция, а(М) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k – векторная функция.

Решение. Используя формулу (4.5), находим

Итак,

(4.7)

Пример 4.7. Найти дивергенцию вектора

где - расстояние от начала координат до переменной точки M(x, y, z).

Решение. Используя формулу (4.7), получим

.

Далее,

поэтому