Тема:Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.
Уравнения с раздельными и разделяющимся переменными.Однородные уравнения. Дифференциальныех уравнения, приводимые к однородным.
Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.
Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства
φ(х, у, с1, с2, …., сn)=0 (8.1)
Надо продифференцировать равенство (8.1) n раз, считая и функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (8.1) исключить произвольные постоянные с1, с2, ….сn.
Пример 8.1: Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
с1х+(у-с2)2=0 (8.2)
так как уравнение семейства содержит 2 параметра, дифференцируем его 2 раза, считая у = у(х)
с1=2(у- с2) у, (х)=0 (8.3)
2у,2 =2(у-с2)у,, (х)=0 (8.4)
Исключим С1. Из уравнения (8.3) имеем С1 =-2(у- с2)у,, подставляя это в (8.2), получим
-2ху,(у-с2)+(у-с2)2=0 (8.5)
Исключим С2. Из уравнения (8.4) имеем у-с2=у,2/у,,, подставляя это в (8.5), получим после упрощения дифференциальное уравнение у,+2ху,,=0