Теорема 16.3

Пусть члены ряда (16.1) положительны и не возрастают, то есть:

И пусть -такая непрерывная невозрастающая функция, что

(16.11)

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (16.1)

2) если указанный интеграл расходится, то и расходится ряд (16.1)

Доказательство:

Изобразим члены ряда геометрически, откладывая по оси абсцисс номера 1,2,3,…,n.n+1… членов ряда, а по оси ординат соответствующие значения членов ряда . Построим на том же чертеже график непрерывно не возрастающей функции , удовлетворяющий условию (16.11)

Из чертежа видно что первый из построенных прямоугольников имеет основание 1 и высоту . Следовательно, площадь этого прямоугольника . Площадь второго прямоугольника и т.д. наконец, площадь последнего (n-го) из построенных . Сумма площадей построенных прямоугольников равна сумме первых n членов ряда. С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками заключает область, ограниченную кривой и прямыми х=1, х=n+1, у=0. площадь этой области равна

Следовательно:

> (16.12)

Рассмотрим чертеж 2. здесь первый (слева) из построенных прямоугольников имеет высоту , следовательно его площадь также . Площадь второго и т.д площадь последнего из построенных прямоугольников равна сумме всех членов ряда, начиная от второго до (n+1)-го, то есть .

С другой стороны, как легко видеть, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками, содержится внутри криволинейной фигуры, ограниченной кривой и прямыми х=1, х=n+1, у=0.

Площадь этой фигуры равна , следовательно,

<

Откуда

(16.13)

Рассмотрим оба случая.

1. Предположим что интеграл сходится, то есть имеет конечное значение. Так как

< ,

то в силу (34.13)

,

То есть частичная сумма остается ограниченной при всех значениях . Но при увеличении она возрастает, так как все члены положительны. Следовательно, при имеет конечный предел , то есть ряд сходится.

2. Предположим далее, что

=

Это означает, что неограниченно возрастает при возрастании . Но тогда в силу неравенства (16.13) также неограниченно возрастает при возрастании , то сть ряд расходится.