Интегрируя по частям и учитывая, что , имеем
= (22.14)
Поэтому:
Интегрируя по частям правую часть (22.14) последовательно и учитывая, что производные непрерывны и принимают одинаковые значения в точках и , а также оценку (22.12) получаем первую оценку (22.13). вторая оценка в (22.13) получается подобным образом.
Теорема 22.5. Для коэффициентов Фурье функции имеет место неравенство:
(22.15)
Теорема 22.6. Теорема Римана. Пусть функция аюсолютно интегрируема на конечном интервале (a,b). Тогда