Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.
Сила Кулона , действующая со стороны электростатического поля на пробный точечный заряд
, и потенциальная энергия
этого заряда равны
,
. (10.25)
С другой стороны, между потенциальной силой и потенциальной энергией
существует, как и при рассмотрении гравитационного поля в механике, связь
. (10.26)
Подставив сюда формулы (10.25) и сократив на заряд , получим:
, (10.27)
где дифференциальный оператор Гамильтона (набла)
. (10.28)
Из (10.27) следует, что проекции вектора на оси декартовой системы координат связаны с частными производными от потенциала
по этим координатам:
,
,
. (10.29)
Элементарная работа сил электростатического поля по перемещению пробного заряда на расстояние
равна
, или
,
где - проекция вектора напряженности
на направление радиуса вектора
.
Для полей с центральной или осевой симметрией соотношение (10.27) можно преобразовать к виду
|
|
,
,
, (10.30)
где - единичный вектор, коллинеарный с вектором
,
– постоянная интегрирования.
Используя соотношения (10.27) - (10.30), можно получить формулы:
- для расчета потенциала электростатического поля точечного заряда и заряженного шара радиуса на расстоянии
(
≥
)
, (10.31)
- для расчета потенциала электростатического поля тонкой прямой бесконечной заряженной нити с линейной плотностью или цилиндра радиуса
на расстоянии
(
≥
)
, (10.32)
где – постоянная интегрирования.
В различных задачах электростатики используется понятие объемной , поверхностной
и линейной
плотности заряда
,
,
. (10.33)