Тема 13. Магнитостатика в вакууме

Магнитное поле и его характеристики. Векторы индукции и напряженности магнитного поля. Принцип суперпозиции полей. Закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Магнитное поле движущегося заряда. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Ускорители заряженных частиц. Эффект Холла. Закон полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида. Поток вектора индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля.

Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент. Работа сил поля по перемещению проводника с током и контура с током в магнитном поле. Магнитоэлектрические и электродинамические измерительные приборы.

13d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\content\chapter1\section\paragraph2\theory.htmld:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\ring_h.gif.1. Магнитное поле

Магнитные явления были известны еще в древнем мире. Компас был изобретен более 4500 лет тому назад. Он появился в Европе приблизительно в XII веке новой эры. Однако только в XIX веке была обнаружена связь между электричеством и магнетизмом, и возникло современное представление о магнитном поле.

Первыми экспериментами, показавшими, что между электрическими и магнитными явлениями имеется глубокая связь, были опыты датского физика Х. Эрстеда (1820 г.). Эти опыты показали, что на магнитную стрелку, расположенную вблизи проводника с током, действуют силы, которые стремятся повернуть стрелку. В том же году французский физик А. Ампер наблюдал силовое взаимодействие двух проводников с токами и установил закон взаимодействия токов.

По современным представлениям, проводники с током оказывают силовое действие друг на друга не непосредственно, а через окружающие их магнитные поля.

Источниками магнитного поля являютсядвижущиеся электрические заряды (токи).Магнитное поле возникает в пространстве, окружающем проводники с током, подобно тому, как в пространстве, окружающем неподвижные электрические заряды, возникает электрическое поле.Магнитное поле постоянных магнитов также создается электрическими микротоками, циркулирующими внутри молекул вещества (гипотеза Ампера).

Ученые XIX века пытались создать теорию магнитного поля по аналогии с электростатикой, вводя в рассмотрение так называемые магнитные заряды двух знаков (например, северный N и южный S полюса магнитной стрелки). Однако опыт показывает, что изолированных магнитных зарядов в природе не существует.

Магнитное поле токов принципиально отличается от электрического поля. Магнитное поле, в отличие от электрического поля, оказывает силовое действие только на движущиеся заряды (токи).

Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . Вектор магнитной индукции определяет силы, действующие на токи или движущиеся заряды в магнитном поле.

За положительное направление вектора принимается направление от южного полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле. Таким образом, исследуя магнитное поле, создаваемое током или постоянным магнитом, с помощью маленькой магнитной стрелки, можно в каждой точке пространства определить направление вектора . Такое исследование позволяет представить пространственную структуру магнитного поля. Аналогично силовым линиям вектора напряженности в электростатике, можно строить силовые линии магнитной индукции . В каждой точке пространства вектор направлен по касательной к силовой линии (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Обратите внимание на аналогию магнитных полей постоянного магнита и катушки с током. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, они нигде не обрываются. Это означает, что магнитное поле не имеет источников – магнитных зарядов.Силовые поля, обладающие этим свойством, называются вихревыми. Картину магнитной индукции можно наблюдать с помощью мелких железных опилок, которые в магнитном поле намагничиваются и, подобно маленьким магнитным стрелкам, ориентируются вдоль линий индукции.

Кроме маленькой магнитной стрелки, при исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру. В качестве положительного направления нормали принимается направление, связанное с током правилом правого винта, т. е. за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис. 13.2).

Рис. 13.2

Опыты показывают, что, также как и на магнитную стрелку, расположенную вблизи проводника с током, магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее так, что направление нормали совпадает с направлением вектора ,как показано на рис. 13.2. Механический вращательный момент , действующий на рамку с током площадью , в однородном магнитном поле

, , (13.1)

где

(13.2)

- магнитный момент рамки, – угол между векторами и .

Кроме вектора магнитной индукции , магнитное поле характеризуется вектором напряженности . Связь между индукцией и напряженностью магнитного полядается формулой

, (13.3)

где ·10^-7 Гн/м – магнитная постоянная вакуума, - относительная магнитная проницаемость вещества. Единица измерения магнитной индукции – 1 Тл, единица измерения напряженностимагнитного поля - 1А/м.

Для магнитного поля, также как и для электрического поля, справедлив принцип суперпозиции:

. (13.4)

Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности.

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774-1862) и Ф. Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для элемента проводника с током , который создает в некоторой точке поля (рис. 13.3) индукцию , записывается в виде

, (13.5)

где - вектор, по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током , - радиус-вектор точки, отсчитываемый от элемента до точки наблюдения.

Рис. 13.3

Наряду с законом Био-Савара-Лапласа, для расчета магнитных полей используется закон полного тока (теорема о циркуляции).

Циркуляцией вектора (или ) по произвольному замкнутому контуру называется интеграл

,(13.6)

где - элемент контура , направленный вдоль его обхода, - проекция вектора на направление касательной к контуру , - угол между векторами и .

Закон полного тока гласит следующее: циркуляция вектора (или ) по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

, ,(13.7)

где суммирование ведется по всем проводникам с токами внутри контура . Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

Рассмотрим несколько примеров расчета магнитных полей.

1. Магнитное поле в центре круглого витка радиусом с током (рис. 13.4).

Рис. 13.4

Для расчета воспользуемсязаконом Био-Савара-Лапласа. В силу симметрии все элементы витка создают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Поскольку все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору () и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (13.5),

, или

. (13.8)

2. Магнитное поле прямого тока , т.е. тока, текущего по тонкому прямому бесконечному проводу. Картина магнитного поля показана на рис. 13.5. Выберем замкнутый контур в виде окружности радиуса . В каждой точке этого контура вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности, при этом векторы и коллинеарны ().

Рис. 13.5

Следовательно, циркуляция вектора (13.7)

, или . (13.9)

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора , мы получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока.

Сравним циркуляции векторов и . Циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т. к. электростатическое поле является потенциальным полем. Циркуляция вектора магнитного поля никогда не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

3. Магнитное поле тороида (тороидальной катушки).

Предположим, что катушка с током , содержащая витков, плотно намотана на магнитный тороидальный сердечник с относительной магнитной проницаемостью . В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности (рис. 13.6).

Применим закон полного тока к контуру в виде окружности радиуса , проведенной по средней линии тороида. Из соображения симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции (13.7) получим:

, или , (13.10)

где - число витков на единицу длины тороида.

Отметим, что формула (13.10) справедлива и для длинного соленоида (длинной прямолинейной катушки).

Рис. 13.6

4. Магнитное поле прямого проводника с током конечной длины (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Для расчета воспользуемсязаконом Био-Савара-Лапласа. Модуль вектора магнитной индукции в точке А поля от элемента прямого проводника с током равен

, (13.11)

где - кратчайшее расстояние от точки А до оси провода, .

Векторы всех малых элементов провода в точке А направлены одинаково – на нас перпендикулярно плоскости чертежа. Модуль суммарного магнитного поля равен сумме модулей векторов , т.е.:

, (13.12)

где и - углы между вектором (совпадает с направлением тока ) и радиус-векторами, проведенными из концов провода к точке наблюдения А.

5. Магнитное поле кругового витка с током (рис. 13.8).

Рис. 13.8

Рассчитаем магнитное поле в точке наблюдения А на оси кругового тока радиуса на расстоянии от плоскости витка, используя закон Био-Савара-Лапласа:

Векторы и для полей двух диаметрально противоположных элементов витка и , имеющих одинаковую длину (), равны по модулю:

, . (13.13)

Результирующий вектор в точке наблюдения А направлен по оси витка, причем

, ,

. (13.14)

Интегрируя последнее соотношение по половине дуги окружности , получим окончательно:

. (13.15)

Отметим, что круглый виток с током называется магнитным диполем. Его магнитное поле (13.15) подобно (дуально) напряженности электростатического поля электрического диполя на его оси [2]:

6. Магнитное поле соленоида.

Соленоидом называется длинная катушка, состоящая из большого числа витков. На рис. 13.9 изображено магнитное поле соленоида конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно (постоянно) и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри соленоида.

Рис. 13.9

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 13.10.

Рис. 13.10

Вектор магнитной индукции отличен от нуля только вдоль стороны ab замкнутого контура abcd. Следовательно, используя закон полного тока (13.7), получим:

, (13.16)

где - число витков соленоида на единицу длины. Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки (13.10).

Магнитная индукция поля внутри соленоида конечной длины на его оси в точке наблюдения А (рис. 13.11) [2]:

, (13.17)

где и - углы между вектором на оси соленоида и радиус-векторами, проведенными из точки наблюдения А на оси к концам соленоида.

Рис. 13.11

Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током , находящийся в магнитном поле , прямо пропорциональна току и векторному произведению элемента на магнитную индукцию (закон Ампера):

, , (13.18)

где - угол между векторами и . Вектор , называемый элементом тока, магнитная индукция и сила Ампера образуют правую тройку векторов.

Направление силы Ампера можно определить также по правилу «левой руки» (рис. 13.12): если расположить левую руку так, чтобы линии индукции входили в ладонь, а вытянутые пальцы были направлены вдоль тока, то отведенный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник.

Рис. 13.12

Сила взаимодействия двух бесконечно длинных прямолинейных проводников с токами и (рис. 13.13)

, (13.19)

где - длина участка проводников, - расстояние между ними.

Рис. 13.13

Магнитное взаимодействие параллельных проводников с током используется в Международной системе единиц (СИ) для определения единицы силы тока.

Ампер - сила тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу магнитного взаимодействия, равную 2·10^–7 H на каждый метр длины.

d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\buttonModel_h.gif

Сила Ампера, действующая на отрезок проводника с током длиной , находящийся в магнитном поле (13.18), может быть выражена через силы, действующие на отдельные носители заряда.

Найдем силу Лоренца , действующую на элементарный носитель заряда при его движении в однородном магнитном поле с индукцией .

Пусть концентрация носителей свободных зарядов в проводнике с током равна . Поскольку ток равен отношению количества заряда , прошедшего через площадку за время , к величине этого промежутка времени , то

, (13.20)

где – модуль скорости упорядоченного движения носителей заряда по проводнику, – площадь поперечного сечения проводника.

Подставив (13.20) в (13.18), и поделив силу Ампера на число носителей заряда в проводнике длиной , сечением , получим:

, ,(13.21)

где - угол между векторами и . Векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 13.14).

Рис. 13.14

Из формулы (13.21) видно, что сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости частицы . Она может изменить только направление вектора скорости частицы , но не его величину. Работа силы Лоренца по перемещению заряда всегда равна нулю, поскольку .

Для положительных зарядов направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: за направление тока нужно брать направление вектора скорости положительного заряда. Для случая движения отрицательно заряженных частиц (например, электронов) четыре пальца следует располагать противоположно направлению вектора скорости или использовать правую руку.

Отметим, что магнитное поле, в отличие от электрического поля, не действует на покоящиеся заряды ().

Сила Лоренца равна нулю и в случае, когда вектор скорости частицы и вектор магнитной индукции коллинеарны, т.е. направлены в одну сторону. При этом частица будет двигаться равномерно и прямолинейно.

Если вектор скорости частицы в однородном магнитном поле направлен перпендикулярно вектору магнитной индукции (рис. 13.14), то частица будет двигаться равномерно по окружности радиуса , что следует из второго закона Ньютона:

, . (13.22)

При этом время одного оборота (период обращения) не зависит от скорости:

. (13.23)

Рассмотрим случай, когда поле направлено по оси , а вектор скорости частицы имеет компоненту по оси и компоненту по оси , параллельную вектору . В этом случае частица движется по спирали (рис. 13.15), совершая равномерное движение вдоль силовой линии и одновременно двигаясь по окружности в перпендикулярной плоскости (, ). Радиус спирали , шаг спирали .

Рис. 13.15

Если частица движется одновременно в магнитном и электрическом полях, то на нее действует и сила Кулона, и сила Лоренца:

. (13.24)

Характер и траектория движения частицы зависит от взаимной ориентации векторов , и .

В целом ряде устройств, например, в масс-спектрометре, необходимо предварительно осуществить селекцию заряженных частиц по скоростям. Этой цели служат селекторы скорости, в которых частицы движутся в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях. Электрическое поле создается между пластинами плоского конденсатора, а магнитное поле создается в зазоре между полюсами электромагнита. Начальная скорость заряженных частиц направлена перпендикулярно векторам и .

На частицу в скрещенных полях действует электрическая сила Кулона и магнитная сила Лоренца. Когда эти силы равны по величине и противоположны по направлению, заряженная частица будет двигаться внутри конденсатора равномерно и прямолинейно рис. 13.16.

Такая частица, пролетев конденсатор, пройдет через небольшое отверстие в перпендикулярно расположенном экране. Условие прямолинейной траектории частицы

. (13.25)

Рис. 13.16

Это условие не зависит от заряда и массы частицы, а зависит только от ее скорости . При заданных электрическом и магнитном полях селектор выделит частицы, движущиеся по скоростью

. (13.26)

Остальные частицы не пройдут отверстие в экране.

После селектора скорости частицы влетают в масс-спектрометр. Это устройство позволяет измерять массы частиц c известным зарядом , например, ионов или ядер различных атомов. Движение заряженных частиц в масс-спектрометре показано на рис. 13.17.

Рис. 13.17

Напомним, что ион – это атом, в котором нарушено равновесие между зарядом ядра (заряд ядра складывается из общего заряда протонов) и общим зарядом электронной оболочки. С последнего уровня электронной оболочки можно «забрать» один или несколько электронов и тогда атом становится положительным ионом или добавить электроны – получим отрицательный ион.

Масс-спектрометры используются также для разделения изотопов, т.е. ядер атомов с одинаковым зарядом, но разными массовыми числами, например, изотопов урана ₉₂ и ₉₂ .

Для обозначения ядер химических элементов используются следующие символические обозначения:

где - символ химического элемента, - зарядовое число, оно соответствует номеру элемента в периодической таблице Менделеева и показывает число протонов в ядре. Заряд протона положительный, он равен элементарному заряду 1,6∙10^-19Кл (заряд электрона отрицательный, он равен минус ). Зная число ,можно найти заряд ядра

. (13.27)

Атомное ядро состоит их протонов и нейтронов (их называют нуклонами). Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом . Масса покоя протона

1,6726·10^-27кг 1,00728 а.е.м. 1836 , (13.28)

масса покоя нейтрона

1,6749·10^-27кг 1,00867 а.е.м. 1839 , (13.29)

где 9,11·10^{-31 кг – масса покоя электрона, а.е.м. – атомная единица массы:}

1 а.е.м. 1,66·10^{-27 кг.}

Поскольку 1 а.е.м., то масса ядра

1,66·10^-27кг. (13.30)

Масс-спектрометр состоит из камеры с высоким вакуумом. Камера помещена в однородное магнитное поле в пространстве между полюсами электромагнита. Частицы влетают в камеру с большими скоростями в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, и под действием силы Лоренца начинают движение по окружности радиуса (13.22).

С помощью масс-спектрометра можно разделять однократно ионизированные атомы изотопов, например, - , - , - и др.

Заряд этих частиц одинаков и равен заряду протона 1,6∙10^-19Кл, а массы различны и определяются формулой (13.27)

Измеряя радиус при известных значениях и , определяют отношение :

. (13.31)

В случае частиц с одинаковыми зарядами и скоростями масс-спектрометр позволяет разделить частицы с разными массами. Из (13.31) следует, что отношение масс двух частиц одного элемента равно отношению радиусов их траекторий и отношению их массовых чисел:

. (13.32)

Кроме масс-спектрометров, в ядерной физике широко используются ускорители заряженных частиц (электронов, протонов, атомных ядер, ионов и т.д.), в которых частицы приобретают кинетическую энергию в несколько миллионов электронвольт (МэВ). Простейший ускоритель, который называется циклотроном, приведен на рис. 13.18.

Рис. 13.18

Ускоритель состоит из двух половинок (дуантов). Магнитное поле перпендикулярно плоскости чертежа и направлено на нас. Между дуантами имеется узкая щель. Дуанты с помощью электродов подключены к электрогенератору, создающему в щели переменное электрическое поле.

Если заряженную частицу ввести в центр зазора между дуантами, то она, ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус которой пропорционален скорости частицы. К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения изменяется (при соответствующем подборе изменения напряжения между дуантами), поэтому частица вновь ускоряется и, переходя в дуант 2, описывает там уже полуокружность большего радиуса и т. д.

Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выполнить условие синхронизма - периоды вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны, т.е. частота электрогенератора совпадает с частотой вращения частиц по окружности. При этом два раза за период, когда частица пролетает щель, она ускоряется за счет энергии электрического поля. В результате частица движется по спирали, многократно ускоряясь в щелях. На последнем витке, когда энергия частиц и радиус орбиты доведены до максимально допустимых значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выводится из циклотрона.

На выходе циклотрона частица приобретает огромную кинетическую энергию. Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий примерно 20 МэВ.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: