В предыдущем разделе операции над множествами давали множества той же природы. Например, если исходные множества были множествами чисел, то и полученные в результате операций множества были множествами чисел. В этом разделе мы определим операцию, с помощью которой меняется природа элементов получающихся множеств.
Определение 2.1. Упорядоченной парой (набор из 2 объектов) из элементов a и b (a,b), взятых именно в этом порядке, называется множество, состоящее из двух множеств, включающих элемент a: { a },{ a,b }.
(a,b) = {{ a },{ a,b }}
Таким образом, понятие упорядоченной пары не выводит рассмотрение за пределы теории множеств. Но тем не менее независимое определение упорядоченной пары технически удобнее. Исходя из приведенного определения, доказывается справедливость следующей леммы:
Лемма: упорядоченные пары (a,b) и (c,d) равны тогда и только тогда, когда выполняется условие: (a,b) = (c,d) | a = с & b = d
Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор или картеж. В отличии от конечного множества {a1, … an} картеж (a1, … an) на множествах А1, … Аn, характеризуется не только входящими в него элементами, но и порядком в котором они перечисляются, как и для упорядоченных пар роль порядка в картеже фиксируется определением равенства картежей.
|
|
Определение 2.2. Множество всех картежей длины n на множествах А1, … Аn называется декартовым.
Пусть А и В – два множества.
Определение 2.3. Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит множеству А, а второй множеству В.
Обозначают: А ´ В:= {(а,b) | а Î А & b Î B }
Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя.
Соответственно: А 1:= A; А 2:= A ´ A; А 3:= A ´ A 2; и вообще А n:= A ´ A n-1
Теорема: |А´В| = |А| ´ |В|
Доказательство:
Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |А| способами, второй - |В| способами (|А| - число элементов множества А; |В| - число элементов множества В.)
Таким образом, всего имеется |А| · |В| упорядоченных пар.
Пример 2.1.: А = {1,2,3}, |A| = 3; B = {4,5}, |B| = 2;
|А ´ В| = |А| ´ |В| = 3·2 = 6;
|А ´ В| = |{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}| = 6;
Пусть А и В – два множества.
Определение 2.4. Бинарным отношением R из множества А в множество В называется подмножество прямого произведения: R Ì A ´ B.
Для бинарных отношений обычно используется инфиксная форма записи:
a R b:(a,b)Î R Ì A ´ B.
Если А = В, то говорят, что R есть отношение на множестве А и записывают R Ì A ´ А или R Ì A 2.