Упражнения. 1)Написать уравнение прямой в параметрическом и каноническом виде

1) Написать уравнение прямой в параметрическом и каноническом виде:

а)

б)

в)

Решение. а) Для того, чтобы написать уравнение прямой в параметрическом и каноническом виде, необходимо знать направляющий вектор и некоторую точку прямой. Направляющий вектор прямой ищем в виде векторного произведения нормалей и плоскостей П ₁: 3 x -4 y +5 z -8=0 и П ₂: 2 x +3 y -4 z +2=0 соответственно: =(3; -4; 5), =(2; 3; -4),

= - + =6 +22 +17 ,

то есть =6 +22 +17 - направляющий вектор прямой.

В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмём точку с аппликатой z =0. Эта точка (x, y, 0) удовлетворяет уравнения обеих плоскостей:

Решая полученную систему, получаем искомую точку: .

Таким образом,

= = -

- соответственно параметрическое и каноническое уравнения прямой.

Ответ: = = - соответственно параметрическое и каноническое уравнения прямой.

2) Выяснить взаимное расположение прямых:

а) l ₁: = = ; l ₂: = = ;

l ₃: = = ; l ₄: = = .

б) l ₁: = = ; l ₂: = = ;

l ₃: = = ; l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

Решение. а) l ₁ и l ₂: = = . Поэтому прямые l ₁ и l ₂ параллельны. Выясним, совпадают ли они. Для этого проверим, лежит ли произвольная точка одной прямой на другой прямой. Достаточно проверить для точки (3; -2; 1) из l ₁: ≠ . Таким образом, прямые не имеют общих точек, то есть они не совпадают.

l ₁ и l ₃: ≠ и 4×2+(-1)×1+3×(-4)≠0. Поэтому прямые l ₁ и l ₃ ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними:

cos()= =- »-0,214, ()»1,3552 (радиан).

Выясним, пересекаются прямые или скрещиваются. Для этого составим систему из уравнений прямых и решим её:

Преобразуем каждое уравнение системы для получения системы в стандартном виде:

= Û (-1)×(x -3)=4(y +1) Û - x +3=4 y +8 Û - x -4 y =0,

= Û 3(x -3)=4(z -1) Û 3 x -4 z =5,

= Û x -1=2(y -3) Û x -2 y =-5,

= Û 2 x -2= z +2 Û 2 x - z =4.

Таким образом,

Û Û

Эта система несовместна (почему?). Поэтому прямые l ₁ и l ₃ скрещиваются.

l ₁ и l ₄: 4×2+(-1)×5+3×(-1)=0. Поэтому прямые l ₁ и l ₄ перпендикулярны. Остаётся выяснить, пересекаются они или нет (выяснить самостоятельно!).

Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l ₂, l ₃), (l ₂, l ₄), (l ₃, l ₄) (довести до конца!).

Ответ: а) Прямые l ₁ и l ₂ параллельны, но не совпадают; прямые l ₁ и l ₃ скрещиваются под углом»1,3552 (радиан), прямые l ₁ и l ₄ перпендикулярны.

3) Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости П:

а) l: = = , П: 2 x +5 y - z -2=0;

б) l: = = , П: 4 x - y +3 z +1=0;

в) l: = = , П: x + y -3 z -2=0;

г) l: = = , П: 2 x + y - z -2=0;

д) l: = = , П: -2 x + y +4 z -3=0;

е) l: = = , П: 3 x - y -2 z -4=0.

Решение. а) 4×2+(-1)×5+3×(-1)=0. Поэтому прямая и плоскость параллельны. Для выяснения наличия у них общей точки (и, как следствие, лежит ли прямая на плоскости), достаточно проверить, принадлежит ли некоторая точка прямой на плоскости. Через точку (3; -2; 1) проходит прямая l. Её координаты не удовлетворяют уравнениям плоскости: 2×3+5×(-2)-1-2≠0. Поэтому точка не лежит на плоскости. В частности, прямая и плоскость общих точек не имеют.

б) = = . Поэтому прямая и плоскость перпендикулярны, в частности, пересекаются по единственной точке. Найдём эту точку пересечения:

Û Û

Решение последней системы - .

в) ≠ и 2×1+1×1+(-4)×(-3)≠0. Поэтому прямая и плоскость ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними:

sin()= = »0,9869,

arcsin 0,9869=()»1,4089 (радиан).

Остаётся найти точку пересечения прямой и плоскости, что предоставляется читателю.

Ответ: а) прямая и плоскость параллельны и не пересекаются;

б) прямая и плоскость перпендикулярны, - их точка пересечения;

в) прямая и плоскость пересекаются под углом 1,4089 радиан.

Приложения

Приложение 1

Индивидуальные задания

Вариант 1

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и а) параллельна прямой y =4 x -3; б) перпендикулярна прямой y = x +1; в) образует угол в 45^о с прямой y =2 x +5.

2. Даны вершины треугольника: A (4, 6), B (-4, 0), C (-1, -4). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(1, 3, 6), A ₂(2, 2, 1), A ₃(-1, 0, 1), A ₄(-4, 6, -3). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: x -2 y +4 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0; П ₃: -2 x +4 y -8 z +2=0;

П ₄: 2 x -4 y -2 z +2=0; П ₅: 3 x -2 y +6 z -8=0.

В случае, когда плоскости ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними и уравнение их прямой пересечения в параметрическом и каноническом виде.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

6. Выяснить взаимное расположение прямой l с плоскостями П ₁, П ₂ и П ₃. В случае пересечения в единственной точке найти точку пересечения прямой и плоскости:

l: = = , П ₁: 2 x +2 y -8 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: 4 x -4 y -14=0; П ₄: 4 x -4 y +4=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 2

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (1; -1) и а) параллельна прямой y =2 x +1; б) перпендикулярна прямой y = - x +2; в) образует угол в 60^о с прямой y = x -1.

2. Даны вершины треугольника: A (2, -2), B (2, 8), C (-1, 4). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: 4 x -5 y +3 z -1=0; П ₂: -8 x +10 y -9 z +2=0; П ₃: 12 x -15 y +9 z +3=0;

П ₄: x - y -3 z +2=0; П ₅: x -4 y - z +9=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: 3 x -4 y +5 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: 4 x +3 y -14=0; П ₄: 4 x +3 y -5=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 3

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку А (-3, 2) и а) параллельна прямой y =3 x +1; б) перпендикулярна прямой y = - x +4; в) образует угол в 45^о с прямой y =9 x +4.

2. Даны вершины треугольника: A (8, 12), B (-8, 0), C (-2, -8). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(2, 1, 4), A ₂(-1, 5, -2), A ₃(-7, -3, 2), A ₄(-6, -3, -6). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: x -3 y + z -1=0; П ₂: 4 x -12 y +4 z -4=0; П ₃: -3 x +9 y -3 z +5=0;

П ₄: x - y -5 z +2=0; П ₅: x + z -1=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: x -4 y -2 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: 4 x + y -14=0; П ₄: 4 x + y +1=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 4

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (1, 2) и а) параллельна прямой y = x +3; б) перпендикулярна прямой y = -2 x +3; в) образует угол в 30^о с прямой y =- x +5.

2. Даны вершины треугольника: A (4, 8), B (-12, -4), C (-6, -12). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(7, 2, 4), A ₂(7, -1, -2), A ₃(3, 3, 1), A ₄(-4, 2, 1). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: 3 x - y +2 z +15=0; П ₂: 12 x -4 y +8 z +60=0; П ₃: -3 x + y -2 z -15=0;

П ₄: 3 x - y -5 z +2=0; П ₅: 5 x +9 y -3 z -1=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: x -2 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: x +2 y -14=0; П ₄: x +2 y -1=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 5

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (-3, -4) и а) параллельна прямой 2 x -3 y +1=0; б) перпендикулярна прямой 3 x + y -1=0; в) образует угол в 45^о с прямой y = x +4.

2. Даны вершины треугольника: A (-5, 9), B (-5, -11), C (-11, -3). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(-1, -5, 2), A ₂(-6, 0, -3), A ₃(3, 6, -3), A ₄(-10, 6, 7). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: 6 x +2 y -4 z +17=0; П ₂: 3 x + y -8 z +60=0; П ₃: 12 x +4 y -8 z +34=0;

П ₄: 3 x - y -4 z +2=0; П ₅: 9 x +3 y -6 z -4=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₄ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: x - y +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: x +2 y -14=0; П ₄: x +2 y -11=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 6

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (-2, 2) и а) параллельна прямой 5 x -9 y +1=0; б) перпендикулярна прямой x - y +1=0; в) образует угол в 30^о с прямой 2 x -3 y +5=0.

2. Даны вершины треугольника: A (6, 8), B (-2, 2), C (1, -2). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(0, -1, -1), A ₂(-2, 3, 5), A ₃(1, -5, -9), A ₄(-1, -6, 3). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: x -4 y +3=0; П ₂: 3 x -12 y +9=0; П ₃: - x +4 y -8=0;

П ₄: 4 x - y -4 z +2=0; П ₅: 2 x +3 y -5 z -10=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: 3 x -2 y +2 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: 2 x +3 y +4=0; П ₄: 2 x +3 y +8=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 7

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (3, -4) и а) параллельна прямой y =5 x +3; б) перпендикулярна прямой y =3 x +1; в) образует угол в 45^о с прямой y =5 x -1.

2. Даны вершины треугольника: A (9, 7), B (3, -1), C (-1, 2). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(2, -1, -2), A ₂(1, 2, 1), A ₃(5, 0, -6), A ₄(-10, 9, -7). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: x -3 y - z +2=0; П ₂: 3 x -9 y -3 z +6=0; П ₃: - x +3 y + z -8=0;

П ₄: 4 x -2 y +10 z +2=0; П ₅: 2 x +3 y -5 z -10=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: 2 x - y + z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: x +2 y +3=0; П ₄: x +2 y -5=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 8

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (2, 4) и а) параллельна прямой x - y +3=0; б) перпендикулярна прямой y =-3 x +4; в) образует угол в 60^о с прямой y = -2 x +5.

2. Даны вершины треугольника: A (11, 9), B (5, 1), C (1, 4). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(5, 2, 0), A ₂(2, 5, 0), A ₃(1, 2, 4), A ₄(-1, 1, 1). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: 6 x -3 y -5 z +5=0; П ₂: 6 x -3 y -5 z +6=0; П ₃: -12 x +6 y +2 z -8=0;

П ₄: 4 x -2 y +6 z +2=0; П ₅: x +2 y +6 z -12=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: 4 x +2 z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: x -2 z -14=0; П ₄: x -2 z +3=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 9

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (-2, 0) и а) параллельна прямой 4 x -3 y =0; б) перпендикулярна прямой y =5 x +1; в) образует угол в 30^о с прямой y = -4 x -5.

2. Даны вершины треугольника: A (1, 1), B (9, 1), C (1, 7). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(14, 4, 5), A ₂(-5, -3, 2), A ₃(-2, -6, -3), A ₄(-2, 2, -1). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

4. Выяснить взаимное расположение плоскости П ₁ и остальных плоскостей:

П ₁: 2 x -3 y -2 z +15=0; П ₂: 6 x -9 y -6 z +6=0; П ₃: -12 x +18 y +12 z -8=0;

П ₄: 4 x +2 y - z +2=0; П ₅: 12 x -13 y +5 z -15=0.

5. Выяснить взаимное расположение прямых l ₁ и остальных прямых:

l ₁: = = ; l ₂: = = ,

l ₃: = = , l ₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

l: = = , П ₁: x - y + z +2=0; П ₂: 3 x -6 y +12 z +8=0;

П ₃: x + y +3=0; П ₄: x + y +1=0.

7. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

Вариант 10

1. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку М (-3, -1) и а) параллельна прямой 3 x +6 y +8=0; б) перпендикулярна прямой - x + y =1; в) образует угол в 45^о с прямой y =2 x +5.

2. Даны вершины треугольника: A (6, 6), B (0, -2), C (-4, 1). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

3. Даны точки A ₁(-2, 0, -4), A ₂(-1, 7, -1), A ₃(4, -8, -4), A ₄(1, -4, 6). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .