3.1.1. Скалярным произведением векторов и называется число | |×| |×cos(). Векторы и называются сомножителями в скалярном произведении.
Скалярное произведение векторов и обозначается через (, ). Таким образом, по определению
(, )=| |×| |×cos() (3.1)
3.1.2. Если и коллинеарны, то (, )=±| |×| |. При этом знак «+» берётся в случае, когда , и «-» - когда . В частности, =(, )= .
Наконец, векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: (, )=0.
3.1.3. Теорема. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1о. Для любых векторов и имеет место равенство
(, )=(, ).
2о. Для любого числа a и любых векторов и имеют место равенства
(a , )= a (, ),
(, a )= a (, ).
3о. Для любых векторов , и имеют место равенства
( + , )=(, )+(, ),
(, + )=(, )+(, ).
4о. Если =(ax, ay, az), =(bx, by, bz), то
(, )= axbx + ayby + azbz. (3.2)
Аналогичное свойство справедливо и для векторов на плоскости (только будет отсутствовать слагаемое azbz). В частности, axbx + ayby + azbz =0 - условие ортогональности векторов и .
3.1.4. Свойства 2о и 3о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:
|
|
(a 1 + a 2 +…+ ak , )= a 1(, )+ a 2(, )+…+ ak (, ),
(, b 1 + b 2 +…+ bk )= b 1(, )+ b 2(, )+…+ bk (, )
Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,
(a + b , g + d + e )=
= ag (, )+ bg (, )+ ad (, )+ bd (, )+ ae (, )+ be (, ).
3.1.5. Если известны координаты векторов и , то можно определить косинус cos() угла между ними, а по косинусу - и сам угол (). Действительно, для векторов в пространстве из (3.1) имеем
cos()= ,
куда подставляя (3.2) и | |= , = , получаем
cos()= (3.3).
Аналогичная формула верна и для векторов на плоскости.