Система из трёх уравнений с тремя неизвестными

2.3.1. Определение.

Пусть даны линейные уравнения:

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁, (2.3.1)

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = d ₂, (2.3.2)

a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃. (2.3.3)

Если требуется найти общее решение уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), то говорят, что они образуют систему. Система, состоящая из уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), обозначается следующим образом:

(2.3.4)

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы. Решить систему (2.3.4) ¾ это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Как и в предыдущих случаях, ниже мы найдем условия, при которых система (2.3.4) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения.

2.3.2. Определение. Пусть дана система (2.3.4) линейных уравнений. Матрицы

и

называются соответственно (основной) матрицей и расширенной матрицей системы.

2.3.3. Определения равносильных систем вида (2.3.4), а также элементарных преобразований 1-го и 2-го типов вводятся аналогично, как и для систем из двух уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Элементарным преобразованием 3-го типа системы (2.3.4) называется перемена местами некоторых двух уравнений этой системы. Аналогично предыдущим случаям систем из 2-х уравнений при элементарных преобразованиях системы получается система, равносильная данной.

2.3.4. Упражнение. Решить системы уравнений:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

Решение. а)

(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы (преобразование 3-го типа).

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего (преобразование 2-го типа); таким образом, из второго и третьего уравнений исключили неизвестную x.

(3) Второе уравнение, умноженное на 14, вычли из третьего; из третьего исключили неизвестную y.

(4) Из последнего уравнения находим z = 1, подставляя которое во второе, находим y = 0. Наконец, подставляя y = 0 и z = 1 в первое уравнение, находим x = -2.ñ

б)

(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы.

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего.

(3) Второе и третье уравнения совпали. Одно из них исключаем из системы (или, по-другому, если вычесть из третьего уравнения второе, то третье уравнение обратится в тождество 0 = 0;оно исключается из системы. Полагаем z = a.

(4) Подставляем z = a во второе и первое уравнения.

(5) Подставляя y = 12 - 12 a в первое уравнение, находим x.

в) Если первое уравнение разделить на 4, а третье ¾ на 6, то придём к равносильной системе

которая равносильна уравнению x - 2 y - z = -3. Решения этого уравнения известны (см. Пример 2.2.3 б))

г)

Последнее равенство в полученной системе является противоречивым. Следовательно, система решений не имеет.

Преобразования (1) и (2) ¾ точно такие же, как и соответствующие преобразования системы б))

(3) Из последнего уравнения вычли второе.

Ответ: а) (-2; 0; 1);

б) (21 - 23 a; 12 - 12 a; a), a Î R;

в) {(-3 + 2 a + b; a; b)| a, b Î R };

г) Система решений не имеет.

2.3.5. Из предыдущих примеров вытекает, что система с тремя неизвестными, как и система с двумя неизвестными, может иметь единственное решение, бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения. Ниже мы разберём все возможные случаи. Но предварительно введём некоторые обозначения.

Через D обозначим определитель матрицы системы:

D= .

Через D₁ обозначим определитель, полученный из D заменой первого столбца на столбец свободных членов:

D₁= .

Аналогично, положим

D₂= и D₃= .

2.3.6. Теорема. Если D¹0, то система (2.3.4) имеет единственное решение

, , . (2.3.5)

Формулы (2.3.5) называются формулами Крамера.

3.3.7. Упражнение. Решить системы по формулам Крамера.

а) б) в)

Следующая теорема ¾ о множестве решений системы (2.3.4) для случая, когда D=0.

2.3.8. Теорема. Пусть дана система (2.3.4), D ¾ определитель системы и D=0. Тогда:

1) Если хотя бы один из определителей D₁, D₂ или D₃ не равен нулю, то система решений не имеет.

2) Если хотя бы один из определителей , или (i ¹ j) не равен нулю и D₁ = D₂ = D₃ = 0, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от одного параметра.

3) Если = = = 0 для всех i ¹ j и хотя бы один из определителей , , не равен нулю, то система решений не имеет.

4) Если = = = = = = 0 для всех i ¹ j, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от двух параметров.

2.3.9. Упражнение. Исследовать системы упражнения 2.3.4 на наличие решений и решить их.