Выборочным называется несплошное наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергается не вся исходная совокупность, а специально отобранная ее часть.
Средняя (стандартная) ошибка выборки () характеризует среднюю величину возможных расхождений средней выборочной величины () и генеральной средней (), т. е. справедливо соотношение .
Предельная ошибка выборки ( ) рассчитывается по формуле
,
где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t -кратную среднюю ошибку, т. е. всегда будет выполняться неравенство
.
Значения коэффициента доверия при соответствующей вероятности:
Вероятность, % | 68,3 | 95,0 | 95,4 | 99,0 | 99,7 | 99,9 |
Коэффициент доверия, t | 1,00 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,00 | 3,28 |
Виды методов отбора единиц в выборочную совокупность: повторный и бесповторный.
Виды способов организации отбора единиц в выборочную совокупность: собственно-случайный; механический; типический; серийный.
Формулы для расчета средней ошибки выборки:
|
|
Вид отбора | Метод отбора | Средняя ошибка выборки | |
для средней | для доли | ||
Собственно-случайный | повторный | ||
бесповторный |
О к о н ч а н и е
Механический | повторный | ||
бесповторный | |||
Типический | повторный | ||
бесповторный | |||
Серийный | повторный | ||
бесповторный |
где – дисперсия выборочной совокупности;
N – число единиц генеральной совокупности;
n – число единиц выборочной совокупности;
w – доля единиц совокупности, обладающих данным альтернативным признаком в выборочной совокупности;
– средняя из внутригрупповых дисперсий;
r – число отобранных серий;
R – число серий в генеральной совокупности;
– межгрупповая дисперсия;
– средняя из внутригрупповых дисперсий для доли;
– межсерийная дисперсия для доли.
Пример 1. В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семьях города была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. Получено распределение семей:
Число детей в семье, чел. | Количество семей, единиц |
2 500 | |
1 200 | |
Итого | 5 000 |
С вероятностью 99,9% определить пределы, в которых находится среднее число детей в семьях города.
Решение. Все предварительные расчеты представим в таблице:
Число детей, | Количество семей, | ||
2 500 | 2 500 | 2 500 | |
1 200 | 2 400 | 4 800 | |
1 200 | 3 600 | ||
1 600 | |||
Итого | 5 000 | 6 500 | 12 500 |
Рассчитаем среднюю величину и дисперсию выборочной совокупности
= 1,3 чел.
= 2,5.
= = 2,5 – (1,3)2 = 0,81.
Вычислим предельную ошибку выборки
|
|
= = = 0,0126 (чел.).
Находим пределы генеральной средней величины
1,3 – 0,0126 1,3 + 0,0126,
т. е. с вероятностью 99,9% можно утверждать, что в среднем на каждые три семьи в городе приходится 4 ребенка.
Пример 2. Проводился 10% бесповторный типический отбор работников предприятия с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности. Получены следующие результаты обследования:
№ отдела | Численность работников, чел. | Обследовано, чел. | Число дней временной нетрудоспособности за год | |
средняя | дисперсия | |||
2 000 | ||||
3 000 | ||||
1 000 |
С вероятностью 95,4 определить предельную ошибку выборки.
Решение. Вычислим среднюю величину в выборочной совокупности
= 14,5 дней.
Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий
= 31,5.
Предельная ошибка выборки рассчитывается следующим образом:
= 0,435 (дней),
т. е. с вероятностью 95,4% можно сделать вывод о том, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного работника в целом по предприятию находится в пределах от 14,065 до 14,935 дней.
Необходимая численность единиц выборочной совокупности определяется из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки.
Виды выборки | Повторный отбор | Бесповторный отбор |
Собственно случайная Механическая | n = | n = |
Типическая | n = | n = |
Серийная | n = | n = |
Пример 3. В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического бесповторного отбора.
Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 68,3% предельная ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225?
Решение. Определим необходимую численность выборки
агентств.
Для проведения обследования должно быть отобрано не менее 20 агентств.