В задачах 7.1-7.11 найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:
7.1 а) ; б) ; в) .
7.2 а) ; б) ; в) .
7.3 а) ; б) ; в) .
7.4 а) ; б) ; в) .
7.5 а) ; б) ; в) .
7.6 а) ; б) ; в) .
7.7 а) ; б) ; в) .
7.8 а) ; б) ; в) .
7.9 а) ; б) ; в) .
7.10 а) ; б) ;в) .
7.11 а) ; б) ; в) .
Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интеграла к нахождению более простого интеграла с последующей заменой .
Существуют два варианта замены переменной интегрирования:
1) Метод подведения функции под знак дифференциала.
Если подынтегральное выражение может быть записано в виде
, где - дифференцируемая функция, то осуществляется замена . Тогда
.
При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 3), в частности, преобразования:
; ;
, .
2) Метод подстановки.
Если функция дифференцируема и имеет обратную на соответствующем промежутке, то справедливо равенство
.
Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.
|
|
В задачах 7.12-7.21 сделав замену переменной интегрирования методом подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы
7.12 а) ; б) ; в) .
7.13 а) ; б) ; в) .
7.14 а) ; б) ; в) .
7.15 а) ; б) ; в) .
7.16 а) ; б) ; в) .
7.17 а) ; б) ; в) .
7.18а) ; б) ; в) .
7.19 а) ; б) ; в) .
7.20 а) ; б) ; в) .
7.21 а) ; б) ; в) .
В задачах 7.22-7.30 сделав замену переменной интегрирования методом подстановки, найти следующие интегралы:
7.22 . 7.23 . 7.24 .
7.25 . 7.26 . 7.27 .
7.28 . 7.29 . 7.30 .
В задачах 7.31-7.45 применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:
7.31 а) ; б) ; в) .
7.32 а) ; б) ; в) .
7.33 а) ; б) .
7.34 а) ; б) ; в) .
7.35 а) ; б) .
7.36 . 7.37 . 7.38 .
7.39 . 7.40 . 7.41 .
7.42 . 7.43 . 7.44 .
7.45 . 7.46 . 7.47 .
7.48 . 7.49 . 7.50 .
Если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:
или кратко .
Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл может оказаться проще интеграла .
Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,
, , , причём в качестве выбирается ; 2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , причём в качестве выбирается одна из указанных выше функций; 3) интегралы вида , , , , посредством двукратного интегрирования по частям.
Указанные три группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
В задачах 7.51-7.63 применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
|
|
7.51 а) ; б) .
7.52 а) ; б) .
7.53 а) ; б) .
7.54 а) ; б) .
7.55 а) ; б) .
7.56 а) б) .
7.57 а) . б) .
7.58 . 7.59 . 7.60 .
7.61 . 7.62 . 7.63 .
В задачах 7.64-7.69 применяя различные методы интегрирования, найти следующие интегралы:
7.64 . 7.65 . 7.66 .
7.67 . 7.68 . 7.69 .