Для иллюстрации применения методов теории массового обслуживания к проектированию процессов оказания услуг необходимо рассмотреть многоканальную систему массового обслуживания, в которой прибывающие потребители обслуживаются двумя или более узлами или каналами обслуживания. Допустим также, что потребители, ожидающие обслуживания, стоят в одной очереди и подходят к первому освободившемуся исполнителю. Пример такой многоканальной, однофазовой линии обслуживания сегодня можно встретить в сервисе транспортных средств
Многоканальная система, представленная здесь (рис. 5.3), предполагает также, что вновь прибывающие объекты описываются пуассоновским распределением вероятности, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. Обслуживание выполняется по принципу «первым прибыл — первым обслужили», и предполагается, что уровень обслуживания у всех исполнителей одинаковый. Другие предположения, указанные ранее для одноканальной модели, также применимы и для многоканальной системы.
Рис. 5.3 Структурная схема многоканальной системы
Параметры распределения и формулы массового обслуживания для этой модели приведены ниже.
Потребители, которые пребывают с частотой около λ == 2 человека в час, ждут в одной очереди, пока один из двух механиков не освободится. Каждый механик устанавливает глушители со скоростью около μ = 3 глушителя в час.
Чтобы понять, как работает эта система по сравнению со старой одноканальной системой массового обслуживания, рассчитаем несколько операционных характеристик для канальной системы с числом каналов М = 2 и сравним полученные результаты со значениями, найденными в первом примере.
Расчет начинается с определения вероятности того, что в системе находится 0 потребителей Ро. В рассматриваемом случае (М=2) эта величина рассчитывается по формуле:
Ро = [1 +λ/μ + (λ/μ)м Мμ/М!*(Мμ – λ)]-1 =
= [1 + 2/3 + (2/3)2 2*2*3/2*(2*3 – 2)]-1 = 0,5
Т.е. 0,50 вероятность того, что в системе 0 машин.
Затем определяется среднее количество потребителей в системе:
Ls = λμ*(λ/μ)м Ро /(М-1)!*(Мμ – λ)2 + λ/μ = 2*3*(2/3)2*0,5/(2*3 – 2)2 +2/3 = 0,75 Т.е. среднее количество потребителей в системе 0,75
Среднее время, которое потребители проводят в очереди или обслуживаются(находятся в системе):
Ws = μ(λ/μ)M P0/ (M – 1)!*(Mμ –λ) + 1/μ = Ls/λ = 0,75/2 = 0,375.
Т.е.. 22,5 минут среднего времени, которое машина проводит в системе. Среднее количество потребителей в очереди на шиномонтаж вычисляется по формуле: Lq = Ls – λ/μ = 0,75 – 0,67 = 0,083
Т.е. 0,083 среднего количества машин в очереди.
Среднее время, которое потребитель в очереди:
Wq = Lq/λ = 0,083/2 = 0,0415 или 2,5 минуты, среднего времени, которое машина проводит в очереди.
Можно подвести итог этим характеристикам и сравнить их с такими же характеристиками одноканальной модели следующим образом:
Один канал | Два канала | |
Ро | 0,33 | 0,5 |
Ls L, | 2 машины | 0,75 машин |
Ws | 60 минут | 22,5 минут |
Lq | 1,33 машины | 0,083 машин |
Wq | 40 минут | 2,5 минуты |
Ускорение обслуживания значительно влияет почти на все характеристики. Особенно снизилось время, проведенное в очереди, — с 40 до 2,5 минут. Это согласуется с графиком соотношения затрат, изображенным на рис. 5.1.