Оценка риска и доходности портфеля ценных бумаг

В экономике часто встречаются ситуации, когда субъект (физическое лицо или фирма) должен выбрать одну из альтернатив. Существует экономическая теория, которая занимается изучением процесса выбора, используя так называемую функцию полезности. Функция полезности описывает правило, по которому каждому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полезность» данного варианта выбора. Говоря проще, в теории портфеля функция полезности выражает предпочтения субъекта при определенных отношениях к риску и представлениях об ожидаемых доходностях.

При определении доходности и риска в теории портфельного инвестирования исходят из того, что значения доходности отдельной ценной бумаги портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону.

Чтобы определить распределение вероятностей случайной величины r необходимо знать, какие фактические значения ri принимает данная величина, и какова вероятность Рi каждого подобного результата. При этом инвестора интересует доходность инвестиций в конце инвестиционного, холдингового периода, то есть будущие значения ri, которые в начальный момент инвестирования неизвестны. Значит, инвестор дол жен оперировать ожидаемым, будущим распределением случайной величины r. Существуют два подхода к построению распределения вероятностей ― субъективный и объективный, или исторический. При использовании субъективного подхода инвестор, прежде всего, должен определить возможные сценарии развития экономической ситуации в течение холдингового периода, оценить вероятность каждого результата и ожидаемую при этом доходность ценной бумаги.

Субъективный подход имеет важное преимущество, поскольку позволяет оценивать сразу будущие значение доходности. Однако, он не находит широкого применения, поскольку для обычного инвестора очень трудно сделать оценку вероятностей экономических сценариев и ожидаемую при этом доходность.

Чаще используется объективный, или исторический подход. В его основе лежит предложение о том, что распределение вероятностей будущих (ожидаемых) величин практически совпадает с распределением вероятностей уже наблюдавшихся фактических, исторических величин. Значит, чтобы получить представление о распределении случайной величины r в будущем достаточно построить распределение этих величин за какой-то промежуток времени в прошлом.

Как показывают исследования западных экономистов, для рынка акций наиболее приемлемым является промежуток 710 шагов расчета. В отличие от субъективного подхода, который предполагает разную вероятность различных значений доходности, при объективном подходе каждый результат имеет одинаковую вероятность, поскольку при N наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата составляет величину 1/N. Например, если исследуется доходность акции за предшествующие 10 лет, то вероятность каждой годовой доходности r_i составляет 1/10.

Наиболее часто в теории инвестиционного портфеля используется среднее арифметическое значение доходности отдельной ценной бумаги. Напомним, что если r_t (t = 1,2,…, N) представляют собой значения доходности в конце t ― го холдингового периода, а P_t ― вероятности данных значений доходности, то:

, где

E(r) ― среднее арифметическое значение доходности;

N ― количество лет, в течение которых велись наблюдения.

В случае объективного подхода Р_t = 1/N, поэтому формула примет вид:

Наиболее часто риск ценной бумаги измеряют с помощью дисперсии σ² и стандартного отклонения σ:

Доходность портфеля.

Под ожидаемой доходностью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом «вес» каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

, где

Е(r_p) ― ожидаемая доходность портфеля;

W _i ― доля в общих инвестиционных расходах, идущая на приобретение i -ой ценной бумаги («вес» i -ой ценной бумаги в портфеле);

Е(r_p) ― ожидаемая доходность i -ой ценной бумаги;

n ― число ценных бумаг в портфеле.

Измерение риска портфеля.

При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзя найти как средневзвешенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изменения доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.

Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариация означает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой акции также возрастет (уменьшится). Если же просматривается обратная тенденция, то есть увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании, то считается, что между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация.

Когда рассматриваются величины доходности ценных бумаг за прошедшие периоды, то ковариация подсчитывается по формуле:

, где

σ_i_,_j ― ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

r_i_,_t и r_j_,_t ― доходность ценных бумаг i и j в момент времени t;

Е(r_i_,_t), Е(r_j_,_t) ― ожидаемая (средняя арифметическая) доходность ценных бумаг i и j;

N ― общее количество лет наблюдения.

Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительную величину ― коэффициент корреляции ρ_i,_j:

Коэффициент корреляции между доходностью ценных бумаг i и j равен отношению ковариации доходности этих ценных бумаг к произведению их стандартных отклонений. Значения P _i,j изменяются в пределах: 0 < P _i,j < +1 и не зависят от способов подсчета величин σ _i,j и σ _i, σ _j. Это позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходности двух ценных бумаг: если P _i,j > 0, то доходность ценных бумаг i и j имеет тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях, то есть, когда доходность i -ой ценной бумаги возрастает (снижается), то и доходность j ой ценной бумаги также возрастает (снижается). Чем ближе значение P _i,j к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда P _i,j =+1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значение годовой доходности r _i,t и r _j,t связаны положительной линейной зависимостью, то есть любым изменениям r _i,t всегда соответствуют пропорциональные изменения r _j,t в тех же направлениях.

Если ρ _i,j отрицательны, то r _i,t и r _j,t имеют тенденцию изменяться в разных направлениях: когда r _i,t возрастает (снижается), r _j,t уменьшается (повышается). Чем ближе в этом случае ρ _i,j к величине (1), тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При ρ _i,j =1 наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда r _i,t и r _j,t связаны отрицательной линейной зависимостью. При ρ _i,j =0 отсутствует какая либо взаимосвязь между величинами доходности двух ценных бумаг.

Коэффициент корреляции очень важен для формирования портфеля. Чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, составляющих портфель, тем ниже и риск инвестиционного портфеля.

Итак, риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:

Если вспомнить, что коэффициент корреляции , то эту формулу можно представить в виде:

4.4. Вопросы для самоконтроля и тесты

1. Понятие портфельных инвестиций и инвестиционного портфеля.

2. Понятие эффективного портфеля.

3. Типы портфеля, принципы и этапы его формирования.

4. Оценка дохода и риска по портфелю.

5. Стратегия управления портфелем.

6. Инвестиционный портфель – это:

а. совокупность практических действий по реализации инвестиций;

б. сформированная в соответствии с инвестиционными целями инвестора совокупность объектов инвестирования, рассматриваемая как целостный объект управления;

в. денежные средства, ценные бумаги, иное имущество, в том числе имущественные права, иные права, имеющие денежную оценку, вкладываемые в объекты предпринимательской и (или) иной деятельности в целях получения прибыли и (или) достижения иного полезного эффекта.

7. Инвестиционный портфель, соответствующий стратегии инвестора, считается:

а. сбалансированным портфелем;

б. несбалансированным портфелем.

8. Пассивное управление предполагает:

а. сохранение портфеля в неизменном состоянии в течение всего периода его существования;

б. максимально быстрое избавление от низкодоходных активов;

в. приобретение наиболее эффективных ценных бумаг.

9. Активное управление предполагает:

а. приобретение наиболее эффективных ценных бумаг;

б. сохранение портфеля в неизменном состоянии в течение всего периода его существования;

в. создание хорошо диверсифицированного портфеля на длительный срок;

г. максимально быстрое избавление от низкодоходных активов.