Понятие интеграла Фурье

Предположим, что функция f(x) является кусочно-гладкой и периодической с периодом T=2l, кроме того определим функцию в точках разрыва

(1)

Тогда периодическая функция f(x) является непрерывной и имеет непрерывную производную на всей числовой оси, за исключением, может быть, конечного числа точек на отрезке [-l,l]. Кроме того, в этих точках существуют конечные пределы f(x) и f ^/(x) слева и справа. Множество, обладающее такими свойствами, обозначим через L¹. Каждую такую функцию можно представить рядом Фурье

(2)

коэффициенты которого определяются по формулам

(3)

(4)

(5)

Исследуя ряд Фурье, мы доказали, что ряд Фурье сходится к f(x). Предположим, что функция f(x) является непериодической и кусочно-гладкой. Выражение интеграла Фурье получим из ряда Фурье периодической функции f(x). Для этого в ряд (32) подставим выражение коэффициентов a₀, a_n и b_n (6)

Введём обозначения:

,

тогда

Пусть (функция из периодической становится непериодической).

Очевидно, что

Второе слагаемое из (6) с учётом обозначений

приводится к виду

В таком виде эта сумма напоминает интегральную сумму функций на отрезке .Перейдя к пределу при , получаем

Это выражение назовём двойным интегралом Фурье для непериодической функции .

Преобразуем интеграл Фурье следующим образом

Обозначим

Тогда

В таком виде интеграл Фурье похож на ряд Фурье. Суммирование по дискретному параметру заменено интегрированием по непрерывно меняющему параметру .

Коэффициенты и аналогичны коэффициентам и .