2015-04-08
890
1. События и их вероятности. Правила сложения событий.
События называются несовместными (независимыми), если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий происходит независимо от других и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном опыте).
О сумме вероятностей
Если происходят независимые события, то вероятность таких событий равна сумме вероятностей этих событий:
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте.
Пример. Поступление в магазин одного вида товара — событие 
. Поступление второго вида товара — событие 
. Поступить эти товары могут и одновременно. Поэтому и - совместные события.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB)
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.
В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.
2. Независимые события и правила умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
События называются несовместными (независимыми), если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий происходит независимо от других и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном опыте).
Об умножении вероятностей
Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Тогда вероятность совершения событий А и В одновременно равна произведению вероятностей. Вычисляется по формуле:
Пример с той же игральной костью:
Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?
Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Оба эти события несовместные (независимые). Вероятность выпадения шестёрки в первый раз и во второй раз равна произведению:
Говоря простым языком: когда происходит событие, и ПРИ ЭТОМ происходит(ят) другое (другие), то вероятности этих событий перемножаются.
Предположим, что событие может осуществляться только с одним из несовместных событий 
. Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий в разном количестве. Существует разная вероятность выпуска некачественной продукции на разных предприятиях. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события 
— это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.
В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий
По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем
Используя теорему умножения вероятностей, находим
(3.1)
Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.
3. Случайные величины и законы их распределения.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.
Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.
Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х1, х2,..., хn с соответствующими им вероятностями р1, р2,..., рn
