Пусть - рациональная функция своихаргументов. Тогда интеграл находится заменой переменных
Как правило, за берется наименьшее общее кратное чисел , где , т.е. r выбирается так, чтобы все корни, стоящие под знаком интеграла, извлекались.
Пример 1. Вычислить неопределенный интеграл .
Решение:
В подынтегральном выражении выделим целую часть: ,
В некоторых случаях проинтегрировать иррациональные выражения помогают тригонометрические подстановки:
1) .
Такие выражения рационализируются с помощью следующей подстановки
, .
Пример 2. Найти неопределенный интеграл .
Замена .
Интеграл примет вид:
.
2)
Такие выражения рационализируются с помощью следующей подстановки
, .
Пример 3. Найти неопределенный интеграл .
Замена .
Тогда .
Интеграл примет вид:
3) .
Такие выражения рационализируются с помощью следующей подстановки
, .
Пример 4. Найти неопределенный интеграл .
Замена .
Тогда интеграл примет вид:
.