Плоскость в пространстве

Элементы аналитической геометрии в пространстве.

Плоскость в пространстве можно задать различными способами (тремя точками, точкой и вектором, перпендикулярным плоскости, и т.п.). В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

Дана точка М₀(х₀, у₀, z₀) и ненулевой вектор

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно к указанному вектору п (этот вектор называют нормальным вектором плоскости).

Рассмотрим произвольную точку М(х, у, z) данной плоскости.

Так как вектор М₀М =(х-х₀, у-у₀, z-z₀) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору п (рис.). Следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Пользуясь выражением скалярного произведения в получаем искомое уравнение:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Подчеркнем, что коэффициентами при х, у, z являются координаты нормального вектора плоскости.

Уравнение первой степени относительно декартовых координат

где A, В, С одновременно в нуль не обращаются, т.е.

определяет плоскость в пространстве и называется общим уравнением плоскости.

Поскольку это уравнение первого порядка относительно декартовых координат, плоскость является поверхностью первого порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения плоскости, когда один или несколько коэффициентов его обращаются в нуль.

1) D = 0. Уравнение принимает вид

Уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис. а).

2) С = 0. Уравнение принимает вид

Вектор п = (А, В, 0) перпендикулярен оси Oz и данной плоскости (как ее нормальный вектор), поэтому плоскость, определяемая данным уравнением, параллельна оси Oz (рис. б).

3) С = 0, D = 0. Уравнение

определяет плоскость, проходящую через ось Oz. (рис. в); это следует из двух рассмотренных случаев.

4) В = 0, С = 0. Уравнение

определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy вектор п = (А, 0, 0) перпендикулярен оси Оу и оси Ozю

Пусть дана некоторая плоскость. Через начало координат проведем прямую, перпендикулярную этой плоскости, и обозначим буквой Р точку их пересечения (рис.).

Установим на указанной прямой (нормали п)положительное направление, совпадающее с направлением вектора ОР. Обозначим через углы, образованные нормалью п с координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно, через р - величину вектора ОР., т.е.

р = ОР

Уравнение вида

называется нормальным уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости можно привести нормальному уравнению.

Умножив обе части общего уравнения плоскости на число , получим

определяющее ту же плоскость, что и исходное уравнение. Выберем так, чтобы

Возводя в квадрат обе части каждого из первых трех уравнений и почленно складывая, находим

Число , называется нормирующим множителем. Знак, нужно выбрать противоположный знаку D.

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки не лежащие на одной прямой. Пусть М(х, у, z) - произвольная точка этой плоскости (рис.).

Рассмотрим векторы

Эти векторы компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю: . Принимая во внимание выражение смешанного

произведения в координатах, получаем искомое уравнение

Рассмотрим две плоскости, заданные уравнениями

Первая из них имеет нормальный вектор , вторая - нормальный вектор . Плоскости параллельны, когда векторы и коллинеарны, поэтому необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей выражается равенствами

Условие совпадения двух плоскостей выражается равенствами

Если условие параллельности не выполнено, плоскости пересекаются. В частности, когда плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы и , поэтому их скалярное произведение равно нулю, т.е. , или