МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО
ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (МАТЕМАТИКА)
“Нет ничего, что не преодолевалось бы трудом”.
(Джордано Бруно (1548-1600) – итальянский философ и поэт)
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими требованиями.
1. Работа должна быть представлена в срок, установленный графиком учебного процесса.
2. Работа должна быть правильно оформлена и выполнена четким, разборчивым почерком без применения сокращений слов. Страницы должны быть пронумерованы и иметь поля для замечаний преподавателя.
3. В начале работы должен быть указан номер варианта. Номер варианта работы соответствует номеру фамилии студента в журнале учебной группы.
4. Последовательность изложения решений задач должна соответствовать их номерам в задании.
5. Перед решением задач необходимо указать их номер и полностью привести условие.
6. Решение задания должно завершаться ответом с указанием искомых величин и их значений.
7. Решение задач следует представлять в развернутом виде с краткими пояснениями и подробными арифметическими расчетами. При этом сначала необходимо привести определение и выражение для вычисления искомой характеристики. Задачи, в которых приводятся только ответы без промежуточных вычислений, считаются нерешенными.
8. Титульный лист работы должен быть корректно оформлен.
Студенты, не выполнившие контрольную работу или не устранившие замечания преподавателя, к сдаче зачета не допускаются.
Контрольные задания по разделу
“Линейное программирование. Графический метод”
Задание 1. Решить графически систему неравенств:
1)
| 2)
| 3)
|
4)
| 5)
| 6)
|
7)
| 8)
| 9)
|
10)
| 11)
| 12)
|
13)
| 14)
| 15)
|
16)
| 17)
| 18)
|
19)
| 20)
| 21)
|
22)
| 23)
| 24)
|
25)
| 26)
| 27)
|
28)
| 29)
| 30)
|
Задание 2. Решить задачу линейного программирования графическим методом путем вычисления значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений. Построить и четко обозначить полуплоскости, область допустимых решений, вычислить координаты вершин многоугольника решений (области допустимых решений) и значения целевой функции во всех вершинах. Обосновать полученное решение.
Задание 3. Решить задачу линейного программирования графическим методом с использованием вектора градиента (нормали) и линии уровня целевой функции. Построить и четко обозначить полуплоскости, область допустимых решений, линии уровня и вектор градиент целевой функции. Обосновать полученное решение.
1) ,
| 2) ,
|
3) ,
| 4) ,
|
5) ,
| 6) ,
|
7) ,
| 8) ,
|
9) ,
| 10) ,
|
|
|
|
|
11) ,
| 12) ,
|
13) ,
| 14) ,
|
15) ,
|
|
16) ,
| 17) ,
|
18) ,
| 19) ,
|
|
|
20) ,
| 21) ,
|
22) ,
| 23) ,
|
24) ,
| 25) ,
|
26) ,
| 27) ,
|
28) ,
| 29) ,
|
30) ,
|
|
Задание 4. Составить математическую модель задачи с описанием переменных, целевой функции, системы ограничений. Решить задачу графическим методом или с помощью Поиска решений в MS Excel. Дать толкование полученного результата в соответствии с данными и единицами измерения величин исходной текстовой задачи.
1)При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен содержать не менее 1 кг белка, не менее 100 г кальция и ровно 80 г фосфора. Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и о себестоимости этих продуктов приведены в таблице. Определить оптимальный рацион кормления при условии минимальной себестоимости.
|
| Сено
| Силос
|
Белки, г/кг
|
|
|
Кальций, г/кг
| 1,25
| 2,5
|
Фосфор, г/кг
|
|
|
Себестоим., руб/кг
| 1,2
| 0,8
|
2)При производстве изделий А и Б на фабрике применяются сталь, медь и алюминий. Данные о запасах сырья, норме расходов на одно изделие и прибыли от продажи 1го изделия приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
| Сырье
| Запас
| А
| Б
|
Медь, кг
|
|
|
|
Сталь, кг
|
|
|
|
Алюминий, кг
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
3)Для производства «любительской» и «ливерной» колбас закуплены мясо, сало, ливер. Данные о запасах сырья, компонентах, необходимых для производства 10 кг колбасы каждого вида, прибыли от продажи приведены в таблице. Определить план выпуска колбас, приносящий максимальную прибыль
| Сырье
| Запас
| Любит.
| Лив.
|
Мясо, кг
|
|
|
|
Сало, кг
|
|
|
|
Ливер, кг
|
|
|
|
Прибыль, руб. за 10 кг
|
|
|
|
4)Для производства свитеров и кофточек используются шерсть, силон, нитрон. Данные о запасах сырья, норме расходов на 10 изделий и прибыли от продажи 10 изделий приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
| Сырье
| Запас
| Свитер
| Кофт.
|
Шерсть, кг
|
|
|
|
Силон, кг
|
|
|
|
Нитрон, кг
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
5)Для подкормки почвы нужно внести на 1га не более 8 единиц азота, не менее 12 единиц фосфатов и 16 единиц нитратов. Вы можете закупить комбинированные удобрения вида A и B. Данные о содержании химических веществ в удобрениях и цене удобрений приведены в таблице. Составить план минимизации расходов по закупке удобрений в расчете на 1га.
|
| А
| В
|
Азот, ед.
|
|
|
Фосфаты, ед.
|
|
|
Нитраты, ед.
|
|
|
Цена 1 кг
| 5 у.е.
| 2 у.е.
|
6) Компания извлекает из двух типов руды минералы А, В, С. Необходимо произвести не менее 3 тонн минерала А, не более 2 тонн минерала В и ровно 1 тонну минерала С. Данные о количестве минералов, извлекаемых из руды каждого типа, и стоимость руды приведены в таблице. Сколько тонн руды каждого типа надо закупить, чтобы затраты оказались минимальными?
|
| Руда I
| Руда II
|
Минерал А
| 100 кг
| 200 кг
|
Минерал В
| 120 кг
| 50 кг
|
Минерал С
| 200 кг
| 100 кг
|
Цена 1 кг
| 50 у.е.
| 60 у.е.
|
7)На фабрике производятся товары А и В. Данные о временных затратах на их производство и о прибыли от продажи единицы товара приведены в таблице. Известно, что в течение недели токарный станок может работать не более 70 часов, фрезерный – не более 40, а на завершающие операции выделяется не более 90 часов. Сколько продукции обоих типов следует производить за неделю для получения максимальной прибыли?
| Время работы
| А
| В
|
Токарный станок
| 2 часа
| 1 час
|
Фрезерный станок
| 1 час
| 1 час
|
Завершающие операции
| 1 час
| 3 часа
|
Прибыль (за ед.)
| 4 у.е.
| 6.у.е.
|
8)Для перевозки грузов используются автомобили грузоподъемности 3 и 5 тонн. Данные о расход материалов и денежных средств на их обслуживание, их запасах, а также о прибыли за 1 рейс приведены в таблице. Составить план перевозок (количество рейсов автомобиля каждого типа), приносящий максимальную прибыль.
|
| Запас
| 3т
| 5т
|
Бензин,т
| 2,4
| 0,2
| 0,3
|
Масло,л
|
|
|
|
Расходы на техн. обсл., у.е.
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
9)В дневной рацион питания необходимо включить не менее 27 мг витамина А, не менее 21 мг витамина В и ровно 15 мг витамина С. Данные о содержании витаминов в 1 кг абрикос и в 1 кг вишни, а также о стоимости фруктов приведены в таблице. Сколько граммов вишни и абрикос необходимо включить в дневной рацион, чтобы затраты были минимальны?
|
| Вишня
| Абрикосы
|
Вит. А, мг
|
|
|
Вит. В, мг
|
|
|
Вит. С, мг
|
|
|
Цена 1 кг
|
|
|
10)На фабрике шьют куртки и плащи, используя ткани типов A, B, C. Данные о запасах сырья, норме расходов на одно изделие и прибыли от продажи 1го изделия приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
| Сырье
| Запас
| А
| Б
|
Ткань А, кв.м.
|
|
|
|
Ткань В, кв.м.
|
|
|
|
Ткань С, кв.м.
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
11)Для производства колбас «салями» и «сервилат» закуплены свинина, говядина, пищевые добавки. Данные о запасах сырья, компонентах, необходимых для производства 1 кг колбасы каждого вида, прибыли от продажи приведены в таблице. Определить план выпуска колбас, приносящий максимальную прибыль
| Сырье
| Запас
| Салями
| Серв.
|
Свинина, кг
|
| 0,7
| 0,2
|
Говядина,кг
|
| 0,3
| 0,8
|
Добавки, кг
|
| 0,1
| 0,2
|
Прибыль, руб. за 1 кг
|
|
|
|
12)Для производства столов и стульев используются доски, фанера и лакокрасочные материалы. Данные о запасах сырья, норме расходов на 10 изделий и себестоимости производства 10 изделий приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором себестоимость производства минимальна.
| Сырье
| Запас
| Столы
| Стулья
|
Фанера (куб.м.)
|
|
|
|
Доски (кв.м.)
|
|
|
|
Лакокр.мат, л.
|
|
|
|
Себестоимость, р.
|
|
|
|
13)Для подкормки почвы нужно внести на 1га не менее 8 единиц азота, не менее 21 единицы фосфатов и 10 единиц нитратов. Хозяйство закупило комбинированные удобрения вида A и B. Данные о содержании химических веществ в удобрениях и цене удобрений приведены в таблице. Составить план минимизации расходов по закупке удобрений в расчете на 1га.
|
| А
| В
|
Азот,ед
|
|
|
Фосфаты, ед.
|
|
|
Нитраты, ед.
|
|
|
Цена 1 кг
| 3 у.е.
| 4 у.е.
|
14)На консервном заводе изготовляют яблочный сок и яблочный джем. Данные о затратах на их производство и о прибыли от продажи единицы товара приведены в таблице. Известно закуплено 500 кг яблок, 150 кг сахара и 50 кг пищевых добавок. Составить план выпуска консервов, приносящий максимальную прибыль.
| Сырье
| Сок
| Джем
|
Яблоки, кг
|
|
|
Сахар, кг
|
| 0,5
|
Добавки, кг
| 0,5
| 0,2
|
Прибыль за 1 л
| 9 у.е.
| 5 у.е.
|
15)Для перевозки пассажиров используют автобус и маршрутное такси. Данные о расходе материалов и денежных средств на обслуживание, запасах ресурсов и прибыли за 1 рейс приведены в таблице. Составить план перевозок (количество рейсов автобуса и маршрутки), приносящий максимальную прибыль.
|
| Запас
| Авт.
| Маршр.
|
Бензин,т
| 3,1
| 0,3
| 0,2
|
Масло,л
|
|
| 0,5
|
Расходы на техн. обсл., у.е.
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
16)При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен содержать не менее 1 кг белка, не менее 100 г кальция и ровно 80 г фосфора. Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и о себестоимости этих продуктов приведены в таблице. Определить оптимальный рацион кормления при условии минимальной себестоимости.
|
| Сено
| Силос
|
Белки, г/кг
|
|
|
Кальций, г/кг
| 1,25
| 2,5
|
Фосфор, г/кг
|
|
|
Себестоим., руб/кг
| 1,2
| 0,8
|
17)При производстве изделий А и Б на фабрике применяются сталь, медь и алюминий. Данные о запасах сырья, норме расходов на одно изделие и прибыли от продажи 1го изделия приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
| Сырье
| Запас
| А
| Б
|
Медь, кг
|
|
|
|
Сталь, кг
|
|
|
|
Алюминий, кг
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
18)Для производства «любительской» и «ливерной» колбас закуплены мясо, сало, ливер. Данные о запасах сырья, компонентах, необходимых для производства 10 кг колбасы каждого вида, прибыли от продажи приведены в таблице. Определить план выпуска колбас, приносящий максимальную прибыль
| Сырье
| Запас
| Любит.
| Лив.
|
Мясо, кг
|
|
|
|
Сало, кг
|
|
|
|
Ливер, кг
|
|
|
|
Прибыль, руб. за 10 кг
|
|
|
|
19)Для производства свитеров и кофточек используются шерсть, силон, нитрон. Данные о запасах сырья, норме расходов на 10 изделий и прибыли от продажи 10 изделий приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
| Сырье
| Запас
| Свитер
| Кофт.
|
Шерсть, кг
|
|
|
|
Силон, кг
|
|
|
|
Нитрон, кг
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
20)Для подкормки почвы нужно внести на 1га не более 8 единиц азота, не менее 12 единиц фосфатов и 16 единиц нитратов. Вы можете закупить комбинированные удобрения вида A и B. Данные о содержании химических веществ в удобрениях и цене удобрений приведены в таблице. Составить план минимизации расходов по закупке удобрений в расчете на 1га.
|
| А
| В
|
Азот, ед.
|
|
|
Фосфаты, ед.
|
|
|
Нитраты, ед.
|
|
|
Цена 1 кг
| 5 у.е.
| 2 у.е.
|
21) Компания извлекает из двух типов руды минералы А, В, С. Необходимо произвести не менее 3 тонн минерала А, не более 2 тонн минерала В и ровно 1 тонну минерала С. Данные о количестве минералов, извлекаемых из руды каждого типа, и стоимость руды приведены в таблице. Сколько тонн руды каждого типа надо закупить, чтобы затраты оказались минимальными?
|
| Руда I
| Руда II
|
Минерал А
| 100 кг
| 200 кг
|
Минерал В
| 120 кг
| 50 кг
|
Минерал С
| 200 кг
| 100 кг
|
Цена 1 кг
| 50 у.е.
| 60 у.е.
|
22)На фабрике производятся товары А и В. Данные о временных затратах на их производство и о прибыли от продажи единицы товара приведены в таблице. Известно, что в течение недели токарный станок может работать не более 70 часов, фрезерный – не более 40, а на завершающие операции выделяется не более 90 часов. Сколько продукции обоих типов следует производить за неделю для получения максимальной прибыли?
| Время работы
| А
| В
|
Токарный станок
| 2 часа
| 1 час
|
Фрезерный станок
| 1 час
| 1 час
|
Завершающие операции
| 1 час
| 3 часа
|
Прибыль (за ед.)
| 4 у.е.
| 6.у.е.
|
23)Для перевозки грузов используются автомобили грузоподъемности 3 и 5 тонн. Данные о расход материалов и денежных средств на их обслуживание, их запасах, а также о прибыли за 1 рейс приведены в таблице. Составить план перевозок (количество рейсов автомобиля каждого типа), приносящий максимальную прибыль.
|
| Запас
| 3т
| 5т
|
Бензин,т
| 2,4
| 0,2
| 0,3
|
Масло,л
|
|
|
|
Расходы на техн. обсл., у.е.
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
24)В дневной рацион питания необходимо включить не менее 27 мг витамина А, не менее 21 мг витамина В и ровно 15 мг витамина С. Данные о содержании витаминов в 1 кг абрикос и в 1 кг вишни, а также о стоимости фруктов приведены в таблице. Сколько граммов вишни и абрикос необходимо включить в дневной рацион, чтобы затраты были минимальны?
|
| Вишня
| Абрикосы
|
Вит. А, мг
|
|
|
Вит. В, мг
|
|
|
Вит. С, мг
|
|
|
Цена 1 кг
|
|
|
25)На фабрике шьют куртки и плащи, используя ткани типов A, B, C. Данные о запасах сырья, норме расходов на одно изделие и прибыли от продажи 1го изделия приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
| Сырье
| Запас
| А
| Б
|
Ткань А, кв.м.
|
|
|
|
Ткань В, кв.м.
|
|
|
|
Ткань С, кв.м.
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
26)Для производства колбас «салями» и «сервилат» закуплены свинина, говядина, пищевые добавки. Данные о запасах сырья, компонентах, необходимых для производства 1 кг колбасы каждого вида, прибыли от продажи приведены в таблице. Определить план выпуска колбас, приносящий максимальную прибыль
| Сырье
| Запас
| Салями
| Серв.
|
Свинина, кг
|
| 0,7
| 0,2
|
Говядина,кг
|
| 0,3
| 0,8
|
Добавки, кг
|
| 0,1
| 0,2
|
Прибыль, руб. за 1 кг
|
|
|
|
27)Для производства столов и стульев используются доски, фанера и лакокрасочные материалы. Данные о запасах сырья, норме расходов на 10 изделий и себестоимости производства 10 изделий приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, при котором себестоимость производства минимальна.
| Сырье
| Запас
| Столы
| Стулья
|
Фанера (куб.м.)
|
|
|
|
Доски (кв.м.)
|
|
|
|
Лакокр.мат, л.
|
|
|
|
Себестоимость, р.
|
|
|
|
28)Для подкормки почвы нужно внести на 1га не менее 8 единиц азота, не менее 21 единицы фосфатов и 10 единиц нитратов. Хозяйство закупило комбинированные удобрения вида A и B. Данные о содержании химических веществ в удобрениях и цене удобрений приведены в таблице. Составить план минимизации расходов по закупке удобрений в расчете на 1га.
|
| А
| В
|
Азот,ед
|
|
|
Фосфаты, ед.
|
|
|
Нитраты, ед.
|
|
|
Цена 1 кг
| 3 у.е.
| 4 у.е.
|
29)На консервном заводе изготовляют яблочный сок и яблочный джем. Данные о затратах на их производство и о прибыли от продажи единицы товара приведены в таблице. Известно закуплено 500 кг яблок, 150 кг сахара и 50 кг пищевых добавок. Составить план выпуска консервов, приносящий максимальную прибыль.
| Сырье
| Сок
| Джем
|
Яблоки, кг
|
|
|
Сахар, кг
|
| 0,5
|
Добавки, кг
| 0,5
| 0,2
|
Прибыль за 1 л
| 9 у.е.
| 5 у.е.
|
30)Для перевозки пассажиров используют автобус и маршрутное такси. Данные о расходе материалов и денежных средств на обслуживание, запасах ресурсов и прибыли за 1 рейс приведены в таблице. Составить план перевозок (количество рейсов автобуса и маршрутки), приносящий максимальную прибыль.
|
| Запас
| Авт.
| Маршр.
|
Бензин,т
| 3,1
| 0,3
| 0,2
|
Масло,л
|
|
| 0,5
|
Расходы на техн. обсл., у.е.
|
|
|
|
Прибыль, руб.
|
|
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 407 с.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.
3. Решение задач оптимизации управления с помощью MS Excel 2010 / В.Н. Пакулин: https://www.intuit.ru/department/informatics/optexcel2010/
Контрольная работа из 4 заданий на графический метод решения ЗЛП.
Распечатки решения в EXCEL.
При решение в EXCEL исходные данные и результаты описывать с единицами измерения.
Мой вариант 10!!! Спасибо)