1) Инъективность отображения w.
Пусть точки A, B Î E1 таковы, что w(A) = w(B) = x (xÎR) (то есть координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.
Если x > 0, то A,B Î l+ и x = |OA| = |OB|. Тогда точки A и B совпадают, так как на луче отложить отрезок данной длины можно единственным образом.
Если x < 0, то A,B Î l -, -x = |OA| = |OB| и ситуация аналогична предыдущей.
Если x = 0, то |OA| = |OB| = 0 и точки O,A,B совпадают по свойству 1 (из определения расстояния)
2) Сюрьективность отображения w.
Пусть x Î R, найдем такую точку A Î E1, что w(A) = x.
Если x > 0, то отложим на луче l+ отрезок длины x: |OA| = x. Тогда по определению функции w координата точки будет равна x.
Если x < 0, то отложим на луче l - отрезок длины (-x): |OA| = -x, тогда w(A) = x.
Если x = 0, то в качестве точки A возьмем точку O.
Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждого действительного числа x Î R существует ровно одна точка A Î E1 такая, что w(A) = x.
Обозначение: вместо записи w(A) = x мы будем употреблять более распространенную запись A(x).
Упражнения.
(1) Пусть на прямой введена декартова система координат, и пусть координаты точек A и B следующие: A(xA), B(xB).
Докажите, что если 0 < xA < xB или xB < xA < 0, то точка A лежит между точками O и B.
(2) Как изменятся координаты точек, если на прямой ввести новую декартову систему координат?