Пусть - нормальный вектор для плоскости .
Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда
. (6)
Утверждение 2. Плоскость , заданная уравнением и плоскость , заданная уравнением параллельны тогда и только тогда, когда
. (7)
Доказательство. Действительно, , если и коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.
Утверждение 3. Плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда
. (8)
Утверждение 4. Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда и неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.
Утверждение 5. Пусть плоскости и пересекаются по прямой, тогда плоскость проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:
, где одновременно. (14.9)