Вопрос 5. Пространственные фигуры

5. Пространственные фигуры

Среди пространственных фигур выделяют многогранники – тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны этих многоугольников называют ребрами, вершины – вершинами многогранника.

Диагонали многогранника- отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани.

Примеры многогранников: (пространственные фигуры)

КУБ- многогранник, поверхность которого состоит из 6ти квадратов.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД- многогранник, поверхность которого состоит из 6ти параллелограммов. Параллелепипед, у которого все грани- прямоугольники, называется прямоугольным.

ПРИЗМА- многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований (боковые грани призмы). Ребра, не лежащие в основаниях призмы, называются боковыми ребрами. Призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники, называется прямой. В противном случае призма называется наклонной. Призмы бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от того, какие многоугольники лежат в их основаниях: треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д..

ПИРАМИДА- многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину – боковые грани пирамиды. Общая их вершина называется вершиной пирамиды. Ребра, сходящиеся в вершине пирамиды, называются боковыми ребрами. Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник и все боковые ребра которой равны, называется правильной. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от того, какие многоугольники лежат в их основаниях: треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д.. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Пространственные фигуры, не являющиеся многогранниками:

СФЕРА- фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на данное расстояние, называемое радиусом.

ШАР- фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на расстояние, не превосходящее данное, называемое радиусом.

Сфера с тем же центром и того же радиуса, что и данный шар, называется поверхностью шара.

Также примерами пространственных фигур является цилиндр и конус.

P.S.Я лично буду учить ТОЛЬКО про сами фигуры, но на стр. 312(пар. 35) написано еще что такое подобие, движение в пространстве. Захотите-посмотрите.

6. Параллельность прямых в пространстве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА: Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.

Док-во- Пусть точка А не принадлежит прямой b. Проведем через эту прямую и точку А плоскость альфа. Эта плоскость единственна. В плоскости через точку А проходит единственная прямая, назовем ее а, параллельная прямой b. Она и будет искомой прямой, параллельной данной.

Прямые в пространстве могут не пересекаться, но и не быть параллельными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость.

Также два отрезка скрещиваются, если они лежат на скрещивающихся прямых.

Две прямые

Лежат в одной плоскости Не лежат в одной плоскости

1)имеют общую точку(пересекаются) Не лежат в одной плоскости (скрещиваются)

2)не имеют общих точек(параллельны)

ПРИМЕР 1: Через каждые две параллельные прямые можно провести плоскость. Таким образом, если имеются три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости, то через них можно провести три плоскости, если 4 прямые, то 6 плоскостей, если n прямых, то через каждую можно провести n-1 плоскость. Учитывая, что при общем подсчете каждая плоскость будет считаться дважды, получаем общее число плоскостей: n(n-1)/2.

ПРИМЕР 2(признак скрещивающихся прямых):

Если одна прямая лежит в одной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещивающиеся.

Пусть прямая а лежит в плоскости альфа, а прямая b пересекает плоскость альфа в точке В, не принадлежащей прямой а.

Если бы прямые а и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежали бы прямая а и точка В. Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью будет плоскость альфа. Но тогда прямая b лежала бы в плоскости альфа, что противоречит условию. Следовательно, а и b не лежат в этой плоскости, то есть они скрещиваются.

7. Параллельность прямой и плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.

Прямая и плоскость

Имеют общие точки Не имеют общих точек(параллельны)

1)Имеют одну общую точку(пересекаются)

2)Имеют более одной общей точки(прямая лежит в плоскости)

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ): Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

Док-во: Пусть плоскость альфа проходит через прямую а, параллельную плоскости бэтта, и прямая b является линией пересечения этих плоскостей. Докажем, что прямые а и b параллельны.

Действительно они лежат в одной плоскости альфа. Кроме этого, прямая b лежит в плоскости бэтта, а прямая а не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая а и подавно не пересекается с прямой b. Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны.

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ): Если прямая, не ежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости.

Док-во: Пусть прямая а не лежит в плоскости бэтта и параллельна прямой b, лежащей в этой плоскости. Докажем, что прямая а параллельна плоскости бэтта. Предположим противное, т.е. что прямая а пересекает плоскость бэтта в некоторой точке С. Рассмотрим плоскость альфа, проходящую чеоез прямые а и b (они параллельны по условию). Точка С принадлежит и плоскости бэтта, и плоскости альфа, т.е. принадлежит линии их пересечение, т.е. прямой b. Следовательно, прямые а и b пересекаются, а это противоречит условию. Таким образом, прямая а параллельна плоскости бэтта.

P.S. Параграф 37, страница 326- также пример

8.Параллельность двух плоскостей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две плоскости называются параллельными, если не имеют общих точек.

Две плоскости

Имеют общие точки(перес. По прямой) Не имеют общих точек(параллельны)

ТЕОРЕМА: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Док-во: Пусть плоскость гамма пересекает параллельные плоскости альфа и бэтта по прямым а и b соответственно.

Прямые лежат в одной плоскости-плоскости гамма. Кроме этого, они лежат в непересекающихся плоскостях, следовательно, и подавно не пересекаются. Значит, они параллельны.

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Пусть пересекающиеся прямые а1, а2 плоскости альфа соответственно параллельны прямым b1, b2 плоскости бэтта. Покажем, что эти плоскости параллельны. Предположим обратное, т.е. что плоскости альфа и бэтта пересекаются и пусть с-линия их пересечения. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая а1 параллельна плоскости бэтта, а по свойству параллельности прямой и плоскости она параллельна прямой с. Аналогично прямая а2 параллельна прямой с. Таким образом, в плоскости альфа мы имеем две пересекающиеся прямые, параллельные одной прямой, а это невозможно. Полученное показывает, что неверным было первоначальное предположение о том, что плоскости альфа и бэтта пересекаются, и, следовательно, они параллельны.

P.S. Параграф 38, страница 330-там есть 3 примера – док-во, что основания призмы параллельны и т.п.. Я не знаю нужно это или нет, но если что смотрите, страницы я указала.