Некоторые позиционные задачи пересечения многогранника с прямой и плоскостью

Плоскость пересекает многогранную поверхность по плоской замкнутой ломаной линии, называемой фигурой сечения. Вершины и стороны фигуры сечения определяются пересечением заданной плоскости соответственно с рёбрами и гранями многоугольника. То есть многократно решается задача или на пересечение двух плоскостей (граней многогранника с секущей плоскостью), или на пересечение прямой с плоскостью (рёбер многогранника с секущей плоскостью). Это уже известные задачи.

Задача: Дана треугольная наклонная пирамида и секущая фронтально проецирующая плоскость å (рис. 6.1). Определить проекции фигуры сечения.


Рис. 6.1.

Решение: Так как секущая плоскость является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция фигуры сечения (122232) совпадет со следом плоскости å2. Фигура сечения является треугольником и определяется на пересечении следа плоскости с соответствующими ребрами пирамиды. По линиям связи определяем горизонтальные проекции вершин треугольника (112131) на соответствующих ребрах пирамиды. Далее определяется видимость звеньев линии сечения в зависимости от видимости граней пирамиды на горизонтальной проекции.

Задача: Дана прямая треугольная призма и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.2). Определить проекции фигуры сечения.


Рис. 6.2. Пересечение многогранника плоскостью.

Решение: Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы (А 1 В 1 С 1) º (112131). Решение задачи сводится к определению второй проекции точек сечения, принадлежащих и плоскости Т и призме.

Для этого воспользуемся фронталями плоскости ¦, проведенными через соответствующие точки 11 º В 1, 21 º А 1, 31 º С 1. Фронтальную проекцию фигуры сечения (122232) определяем на пересечении фронтальных проекций фронталей с соответствующими рёбрами призмы.

Определяем видимость звеньев линии сечения.

Задача: Дана прямоугольная пирамида и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.3). Определить проекции фигуры сечения.


Рис. 6.3.

Решение: Ребра и грани пирамиды являются геометрическими объектами общего положения. Определим точки фигуры пересечения, решая несколько раз задачу на пересечение прямой с плоскостью (ребра пирамиды с секущей плоскостью). Для этого заключаем последовательно каждое ребро во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость: ребро АS - в плоскость D (D2 º А 2 S 2), ребро ВS - в плоскость l (l2 º В 2 S 2), ребро СS - в плоскость å (å2 º С 2 S 2). Определяем линию пересечения каждой вспомогательной плоскости с секущей плоскостью – линии (1121), (3141), (5161). На пересечении линий пересечения и проекций соответствующих ребер определяем искомые точки фигуры сечения (D 1 E 1 F 1), (D 2 E 2 F 2).

Задача: Дана прямоугольная пирамида и прямая общего положения l (рис. 6.4). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Решение: Так как прямая l является прямой общего положения, задача решается аналогично задаче нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Заключаем прямую l во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость å (å2 º l 2). Строим сечение пирамиды вспомогательной плоскостью å (аналогично задаче рис. 6.1). На пересечении горизонтальной проекции прямой l 1 и контуром сечения (112131) находим искомые точки D и E. Определяем видимость прямой относительно точек пересечения с пирамидой.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: