О погрешностях измерений

Виды измерений физических величин и их погрешностей

При измерении любой физической величины получить её абсолютно точное (истинное) значение невозможно из-за присутствующих всегда погрешностей измерений.

Различают прямые и косвенные измерения.

Измерение называют прямым, если значение измеряемой величины (например, длины или массы предмета) находят в результате сравнения с мерой этой же величины (измерительной линейкой, гирями определенной массы) или считываются со шкалы прибора, используемого для проведения наблюдения (например, вольтметра при измерении электрического напряжения).

Измерение называют косвенным, если значение измеряемой величины находят с помощью известной функциональной зависимости, которая связывает искомую величину с величинам, получаемыми непосредственно при прямых измерениях (например, сила электрического тока находится с помощью закона Ома по прямым измерениям электрического напряжения и сопротивления).

Все возможные погрешности измерений по характеру происхождения разделяют на три типа:

1. Грубая погрешность (промах) – чрезмерно большая погрешность, явно искажающая результат измерения.

Существует строгий математический способ определения ошибок подобного рода. Если подозрительное значение отличается от среднего более чем на ( - среднеквадратическое отклонение среднего, смысл этой величины и способ вычисления даны ниже), то считаем его грубой ошибкой и вычеркиваем.

Эта погрешность, связанная с невнимательностью или ошибкой экспериментатора, исключается из протокола измерений. Имеет смысл измерение повторить.

2. Систематическая погрешность – погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

Эта погрешность связана со сдвигом измеренного значения некоторой величины от её истинного значения. Если удается обнаружить причину или найти величину сдвига, то систематическую погрешность можно исключить введением поправки к измеренному значению величины. Однако, не существует универсальных правил, позволяющих найти систематическую погрешность данного измерения.

3. Случайные погрешности – погрешности, появление которых не может быть предупреждено.

Эти погрешности проявляются в разбросе отсчетов при повторных измерениях, проведенных в одних и тех же доступных контролю условиях, т.к. обусловлены факторами, меняющимися от измерения к измерению, действие которых на практике не всегда может быть учтено.

Выполнив измерение физической величины несколько раз, используя теорию погрешностей измерений, можно дать количественную оценку случайной погрешности и указать вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины находится внутри некоторого интервала.

Методика статистической обработки результатов прямых измерений

Обозначим через измеряемую физическую величину. Пусть в результате нескольких опытов получено n пронумерованных значений (i – номер измерения, i = 1,2,3,…,n). Зададимся вопросом: Какую ошибку мы допустили в каждом отдельном измерении? При известном истинном значение , решение очевидно: .

Поскольку, нам не доступно, то его заменяют средним значением , которое легко найти по известной формуле.

или . (1)

Тогда, ошибка отдельного измерения () (несмотря на неизбежную небольшую неточность этих вычислений) легко вычисляется

(2)

Зная ошибку каждого измерения, следующим шагом найдем, так называемое среднеквадратическое отклонение среднего :

или . (3)

(Внимание! Среднеквадратическое отклонение среднего вычисляют с точностью 10%-20%, не более 2 значащих цифр).

Формула для вычисления доказывается в теории вероятности. Для практических целей существенное значение имеет её смысловое наполнение. Отложим на оси всевозможных , значения, , , .

Оказывается, что при проведении новых серий экспериментов, следующие средние значения будут попадать в интервал от () до () примерно 68 раз из 100. С точки зрения теории вероятности можно утверждать, что истинное значение лежит в интервале с вероятностью 68%.

Вероятность , с которой среднее значение попадает в некоторый интервал, называется доверительной вероятностью, при этом интервал называют доверительным интервалом .

Однако 68% невысокая вероятность. В подавляющем большинстве случаев требуется знать интервал с доверительной вероятностью = 90%, 95%, 98%. Найти его очень просто, если известны и специальные коэффициенты Стьюдента , зависящие от числа измерений и доверительной вероятности .

(4)

Обработка случайных погрешностей прямых измерений сводится к нахождению с заданной доверительной вероятностью.

В лабораториях физики МГТУ принят государственный стандарт, в соответствии с которым = 0,95.

Таблица коэффициентов Стьюдента

для доверительной вероятности = 0,95

	12,3	4,3	3,18	2,78	2,6	2,26

Полная погрешность измерений складывается из доверительного интервала и инструментальной погрешности. Теория вероятности дает следующую формулу:

(5)

Как только найдена полная ошибка, обработка погрешностей закончена. Записываем ответ:

, (6)

Рядом необходимо указать относительную погрешность

, (7)

выраженную в процентах () (8)

( Внимание! относительная погрешность ε превышающая 10%-15% свидетельствует о недостаточном усердии учащегося при выполнении лабораторной работы ).

Заметим, что и, следовательно, вычисляют с точностью порядка 10%–20%. Поэтому при вычислении полной ошибки удобно пользоваться следующим правилом: если одна из ошибок или превышает другую в 3 и более раз, то меньшей можно пренебречь.

Величину случайной погрешности можно уменьшить многократным повторением измерения. Использование теории случайных погрешностей оправдано лишь в том случае, если повторные измерения дают результаты, заметно отличающиеся друг от друга.

О точности измерительных приборов

Развитие измерительной техники привело к появлению разнообразных приборов, отличающихся своей точностью.

Точность прибора – это свойство измерительного прибора, характеризующее степень приближения показаний данного измерительного прибора к действительным значениям измеряемой величины.

Точность прибора либо задается классом точности[1] прибора, либо указана в паспорте, прилагаемом к прибору. Погрешность, вносимая прибором при каждом отдельном измерении (приборная погрешность, Δ х_пр.), связана с точностью прибора. Эта погрешность равна той доле деления шкалы прибора, до которой с уверенностью в правильности результата можно производить отсчет.

В тех случаях, когда класс точности не указан и нет указаний в паспорте прибора, приборная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора: Δ х_пр. = ± 0,5 C, где С – цена наименьшего деления шкалы прибора.

В том случае, когда приборная и случайная погрешности сравнимы по величине, полную погрешность измерений можно представить в виде суммы двух составляющих: Δ х = Δ х_случ. + Δ х_пр..

Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения на нем. Для более точных измерений применяют приборы более высокого класса.