Биномиальное распределение

二项分布、伯努利实验
(СХЕМА БЕРНУЛЛИ)

6.1. Основы теории биномиального распределения 二项分布基本理论

Пусть производится серия из n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью p, или не появиться с вероятностью q = 1 - p. Каждое появление или непоявление события А в любом из опытов серии не зависит от исхода других опытов этой же серии. Такая серия опытов называется схемой Бернулли. Случайная величина Х – это число появлений события А в серии из n опытов. Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Ряд распределения этой ДСВ Х имеет вид: 设重复进行n次实验，，实验结果只有发生或不发生两种可能，概率为p 和q，q=1-p,这一连串重复的独立实验为n重伯努利实验。X表示n重伯努利试验中A发生的次数，X 是一个随机变量，我们来求他的分布律。

Х			...	n
Р			...

Здесь , т.е. представляет собой вероятность того, что событие А появится ровно k раз в серии из n опытов. Эти вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, (6.1)

где – биномиальный коэффициент, или число сочетаний из n элементов по k, которое находится по формуле (1.2):

. (6.2)

Вероятность того, что событие А появится от l до m раз в серии из n опытов можно найти по формуле

. (6.3)

Математическое ожидание ДСВ, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формуле

. (6.4)

Дисперсия ДСВ, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формуле

. (6.5)

Полигон и функция распределения ДСВ, распределенной по биномиальному закону, строятся, как и для любой дискретной случайной величины, по правилам, описанным в разд. 5.

6.2. Пример решения типового задания по теме
«Биномиальное распределение»例题详解

Задание № 6. Студент может получить пятерку на экзамене с вероятностью 60%. Найти ряд распределения числа пятерок, которые студент может получить в сессию из 3 экзаменов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пятерок, а также вероятность того, что их будет меньше 2. Построить полигон и функцию распределения.学生有60%的概率在考试时的5分，求学生参加3门考试获得5分的分布律。求数学希望值与方差，以及获得两个以下5分的概率。并绘制分布函数图像。

Решение. Случайная величина Х – число пятерок, которые студент может получить в сессию, очевидно, распределена по биномиальному закону.Действительно проводится ряд испытаний – экзаменов, в каждом из которых может появиться событие А – студент получает пятерку. Эти испытания по условиям задачи проводятся независимо, т.е. результат сдачи каждого из экзаменов не влияет на результат сдачи остальных, по крайней мере, в условиях задачи это не оговаривается. Значит, в нашем праве построить самую простую вероятностную модель изучаемого события – сдачи студентом сессии. В пользу нашего заключения свидетельствует один приведенный в условии факт – вероятность получения пятерки на каждом из экзаменов постоянна для данной сессии данного студента и равна p = 0,6. Соответственно q = 1 - p = 1 – 0,6 = 0,4. Здесь кроется источник главной идеализации, допускаемой при сведении задачи к схеме Бернулли. Действительно, любой, хоть немного знакомый с психологией, либо умудренный пусть и небольшим житейским опытом, понимает, что получение или не получение пятерки уже на первом экзамене, скорее всего, то есть с большой долей вероятности, повлияет на результаты сдачи студентом остальных экзаменов. Как оно повлияет – неясно. Действительно, студент, получив пятерку на первом экзамене, может почувствовать себя окрыленным и «влёт» сдать остальные, а может, наоборот, расслабиться... Для построения более точных вероятностных моделей необходимы серьезные исследования в области педагогической психологии, обработка больших объемов статистических данных и т.д. Ясно, что при решении задач, дающих ответы на глобальные вызовы современности, так и должно происходить. В простых же случаях, подобных нашему, вполне уместна и упрощенная схема Бернулли.

Поскольку наибольшее число пятерок, которые студент может получить в сессию равно 3, то n = 3, и ряд распределения ДСВ имеет вид

随机变量X是学生的5分的数量，学生获得5分是实验A，这个满足重伯努利实验定律，每一次实验室独立的，每次获得的成绩不影响其他考试的成绩，那么得5分的概率 p = 0,6. 相反不得五分的概率 q = 1 - p = 1 – 0,6 = 0,4。有三门考试，所以最多有3个5分，所以 n=3, 一次建立随机变量分布

Х
Р

Чтобы получить конкретный вид ряда распределения, найдем вероятности по формулам Бернулли (6.1):伯努利概率公式(6.1)

где биномиальные коэффициенты найдены по формуле (1.2) с учетом соотношений (1.3).其中二项式系数 由公式（1.2）求出，并考虑上述关系（ 1.3）Тогда ряд распределения ДСВ принимает вид那么该系列随机分布变量分布的形式

Х
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Полигон строится способом, подробно описанным в разд. 4 и 5. Его график приведен на рис. 6.1. Четко выделяется мода распределения, равная 2: mod = 2. 图像建立方法在4和5部分详细分析。在图6.1 中建立图像。清晰可辨众数的分布

Рис. 6.1. Полигон числа пятерок, полученных
студентом в сессию

学生在考试中的成绩图像

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам (6.4) и (6.5)数学期望与随机变量X的方差，根据根据公式(6.4) и (6.5)如下

,

.

Вероятность того, что студент получит не меньше 2 пятерок в сессию, означает вероятность, что он может получить 2 или 3 пятерки, которая вычисляется по формуле (6.3):学生在会话考试中获得不少于2个五分的概率由下式计算出

.

Эта вероятность оказывается более 50%, поскольку события, состоящие в получении 2 или 3 пятерок, являются наиболее вероятными во всем ряде распределения.这个概率显示出50％以上，根据事实，取得两个或三个五分具有最大的可能性

Для построения функции распределения величины Х, распределенной по биномиальному закону, воспользуемся правилом (5.5):为了构造X的分布函数，根据二项式分布规律，我们使用：

,

,

,

,

.

Таблица значений функции распределения имеет вид 函数的值分布的表格形式

Х
F(x)		0,064	0,352	0,784

График этой ступенчатой функций изображен на рис. 6.2. Причем по обеим осям координат выбран различный, способствующий наглядности изображения, масштаб.根据不同的比例在两轴上建立了该阶梯函数的曲线，示于图6.2 。

Рис. 6.2. Функция распределения биномиального
закона для примера № 6函数方差分布图像

6.3. Задания по теме «Биномиальное распределение» 习题

6.1. Переговоры завершаются сделкой в 30% случаев. Найти ряд распределения числа заключенных сделок, если было проведено 6 переговоров. Найти математическое ожидание и дисперсию числа заключенных сделок, а также вероятность того, что будет заключено больше 3 сделок. Построить полигон и функцию распределения. 交易谈判成功的概率是30%。求出如果进行6次交易谈判中成功的次数的数量分布，以及大于余3个成功交易谈判的可能性的数学期望和方差。建射点分布和分布函数图像。	6.2. Вероятность потеряться в незнакомом городе 15%. Найти ряд распределения числа потерявшихся, если в Санкт-Петербург приехала группа из 5 американских студентов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа потерявшихся, а также вероятность того, что потеряется меньше 3 студентов. Построить полигон и функцию распределения. 在一个陌生城市迷路的概率是15 ％。如果在一个有5名学生从美国抵达圣彼得堡的班级中。求出迷路人数的数量分布，以及少于3个学生的可能性的数学期望和方差。建射点分布和分布函数图像。
6.3. За неделю хранения портится 35% груш. Найти ряд распределения числа испорченных груш из 4 хранящихся. Найти математическое ожидание и дисперсию числа испорченных груш, а также вероятность того, что за неделю будет испорчено больше 2 груш. Построить полигон и функцию распределения. 一周内储存的梨中有35%变质坏掉。求出从4个仓库中储存的梨中变质的数量分布，以及在同样变质概率的情况下，一周内周会变质的超过2个梨的数学期望和方差，建立射点分布和函数分布图像。	6.4. Вероятность появления черного котенка в одном помете 25%. Найти ряд распределения числа черных котят, если родилось 4 котенка. Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных котят, а также вероятность того, что в помете будет меньше 3 черных котят. Построить полигон и функцию распределения. 一窝猫崽中出现一只黑色的小猫有25％的概率。求出如果出生4只小猫，其中黑色小猫的数量分布。以及在一窝猫中25%出现黑色小猫的概率的情况下，一窝猫崽少于三只黑色小猫的期望和方差。并建立设点分布和函数分布图像。
6.5. 64% новых импортных автомашин не требуют ремонта в течение 2-х лет после начала эксплуатации. Найти ряд распределения числа таких машин среди 5-и, купленных автопарком одновременно. Найти математическое ожидание и дисперсию числа таких машин, а также вероятность, что их будет не меньше 3-х. Построить полигон и функцию распределения. 64 ％的进口新车开始使用后两年内不需要维修。求出5辆车中新车的数量分布。以及求出当少于三辆时的数学期望和方差，并建立射点分布和函数分布图像。	6.6. Согласно наблюдениям 57% музыкантов опаздывают на репетиции своих групп. Найти ряд распределения числа музыкантов, опаздывающих на репетицию среди 4 участников группы «Ага». Найти математическое ожидание и дисперсию числа опаздывающих музыкантов, а также вероятность, что их будет больше 1. Построить полигон и функцию распределения. 根据观察结果，57%的音乐家会在排练中迟到。求出4名«Ага»乐团音乐家迟到的数量分布。以及求出如果迟到的音乐家超过一位时的数学期望和方差。并建立射点分布和函数分布图像。
6.7. Страховая компания платит по КАСКО в 34% случаев. Найти ряд распределения числа получивших страховые премии среди 5 заявителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа получивших страховки, а также вероятность того, что их будет не больше 3. Построить полигон и функцию распределения. 保险公司赔偿中有34%是按照责任险支付的。求出收到五份申请保费的数量分布。以及求出支付保费的数量不超过3份的数学期望和方差，并建立射点分布和函数分布图像。	6.8. Старый мобильник не реагирует на 38% вызовов. Найти ряд распределения числа пропущенных звонков из 4 вызовов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пропущенных звонков, а также вероятность того, что будет пропущено более 1 звонка. Построить полигон и функцию распределения. 有35%的旧手机不能接通。求出有四个通话中未接电话的数量分布。以及超过一次响铃中有未接电话的数学期望和方差。建立射点分布和函数分布图像。

6.9. Всхожесть тюльпанов составляет 22%. Найти ряд распределения числа появившихся тюльпанов из 6 посаженных луковиц. Найти математическое ожидание и дисперсию числа тюльпанов, а также вероятность того, что взойдет более 4 тюльпанов. Построить полигон и функцию распределения. 有22%的郁金香会发芽。求出六只郁金香芽茎发芽的数量分量分布。以及超过四只郁金香苗发芽的数学期望和方差。并建立射点分布和函数分布图像。

6.10. 28% рынка автомобилей составляют японские машины. Найти ряд распределения числа японских машин среди 4 на стоянке. Найти математическое ожидание и дисперсию числа японских машин, а также вероятность того, что их будет не меньше 2. Построить полигон и функцию распределения. 汽车市场中28%的车辆是日系车。求出在停车场中4辆是日系车的数量分布。以及当停车场不少于2辆日系车的数学期望和方差。并且同时建立射点分布和函数分布图像。

7.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
(ЗАКОН РЕДКИХ СОБЫТИЙ)泊松分布