ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Задача 1
Варианты 1- 35. Докажите равенство двух множеств E и F.
Вариант 1. , .
Вариант 2. , .
Вариант 3. , .
Вариант 4.
Вариант 5. B, Æ.
Вариант 6. .
Вариант 7. , .
Вариант 8. .
Вариант 9. .
Вариант 10.
Вариант 11.
Вариант 12.
Вариант 13.
Вариант 14. , .
Вариант 15. .
Вариант 16. .
Вариант 17.
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
Вариант 21. Æ,
Вариант 22. Æ.
Вариант 23.
Вариант 24.
Вариант 25.
Вариант 26.
Вариант 27. Æ, .
Вариант 28. .
Вариант 29.
Вариант 30. Æ, =Æ.
Вариант 31. .
Вариант 32. .
Вариант 33. .
Вариант 34. .
Вариант 35.
Вариант 36.
РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Вариант 28. Докажите равенство двух множеств E и F, где
, .
Доказательство. Пусть А – произвольное множество, U – универсальное множество. Необходимо доказать следующее свойство для операции пересечения множеств:
А U = A.
Известно, что
1) E F;
2) F E.
В свою очередь:
1) E F ( E) [ F ];
2) F E ( F) [ E ].
Поэтому докажем, что каждое множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено во множество, стоящее по другую сторону от этого знака равенства.
1) По определению пересечения
А U А. (1)
2) Если у – произвольный элемент из множества А, то также у U, так как А U. Поэтому согласно определению пересечения элемент у А U. Имеем
( у А) [ у A U ],
что означает
А А U. (2)
Из условий (1) и (2) следует равенство А U = A.
Что и требовалось доказать.
Вариант 6. Докажите равенство двух множеств E и F.
, .
Решение. 1) Пусть – произвольный элемент из множества . По определению операции пересечения : и . Условие означает, что или . Итак, имеем , или , .
a) Предположим, что , . Тогда A B. По определению объединения : , так как этот элемент принадлежит хотя бы одному из составляющих или . В случае а) из условия вытекает, что .
б) Пусть теперь , . Тогда A С, а по определению пересечения : . Видим что и в случае б) из условия вытекает, что .
Итак, в случае 1):
E F. (*).
2). Обратно, возьмём любой элемент . По определению объединения : или .
a) Пусть . Тогда по определению пересечения : , .
Поскольку , то . Имеем , . По определению пересечения . В случае а) из условия следует, что .
б) Пусть , т.е. , . Тогда , и по определению пересечения : . Опять видим, что из условия вытекает . Итак, в случае 2)
F E. (**).
Из (*) и (**) получаем .
Что и требовалось доказать.