Def. Первой квадратичной формой поверхности Ф называется квадрат полного дифференциала вектор-функции
Линейный элемент
y |
y+ |
(x,y) |
x+ |
x |
y |
x |
O |
Рассмотрим регулярную поверхность.
v |
Q |
u |
r = r(u,v) |
Найти расстояние для криволинейного .
При малом смещении т. криволинейный треугольник можно рассматривать как прямолинейный (длина дуги хорде стягивающей эту дугу).
Тогда
Если поверхность задана векторной параметризацией: r = r(u,v), то
Учитывая, что и введя обозначения и получим:
(1)
Замечание 1. Выражение в 1-й части уравнения (1) называют: первая основная гауссовская квадратичная дифференциальная форма.
Замечание 2. Первая квадратичная форма представляет двумерный вариант метрики поверхности. Метрика не определяет однозначно форму поверхности.
Приложения 1-й квадратичной формы.
Форма дает возможности: 1) вычислить расстояние или длины дуг на поверхности;
|
|
2) вычислить углы между линиями на поверхности;
3) вычислить площадь фигур на поверхности.
Геометрический смысл коэффициентов 1-й квадратичной формы.
Q |
M |
u |
Q1 |
v |
1) квадрат производной дуги координатной линии и по её же параметру.
2) Аналогично .
3)
знак F зависит от .
Замечание. угол между координатными линиями на поверхности.