В качестве математических моделей элементов и систем используются как дифференциальные уравнения, так и соответствующие им передаточные функции.
Стандартизация записей этих моделей позволяет обобщить результаты различных исследований, сведя их к единым таблицам, графикам, номограммам.
Рассмотрим на примере пути получения и виды стандартных записей моделей. Так, для двигателя постоянного тока было получено уравнение (8.11), описывающее процессы изменения числа оборотов от изменения напряжения в якорной цепи U и возмущающего момента Mg:
. (13.1)
Первый шаг по стандартизации формы записи заключается в получении коэффициента при выходной величине , равным единице. Это достигается давлением левой и правой частей уравнения (13.1) на . Коэффициенты при производных имеют размерность времени и обозначаются символами Т, называемыми постоянными времени. Коэффициенты в правой части при входных сигналах обозначаются буквами К и называются коэффициентами передачи. В этом случае, когда размерность входного и выходного сигналов одинаковые, они носят название коэффициентов усиления.
Учитывая сказанное, перепишем уравнение (13.1):
. (13.2)
Здесь
; ; ; ; ; .
Размерности коэффициентов следующие:
; ; .
Для упрощения записи используют операторную форму записи, получаемую заменой оператором D. В нашем случае будем иметь:
, (13.3)
Наряду с операторной, существует операционная форма записи, получаемая при использовании преобразования Лапласа.
В этом случае имеем для рассматриваемого примера
, (13.4)
Разница между операторной и операционной формами заключается в том, что в первом случае рассматриваются функции времени t, а во втором – функции комплексной переменной Р.
Передаточная функция – одна из форм записи модели исследуемого объекта. При стандартизации вида передаточной функции используются все этапы, рассмотренные для дифференциальных уравнений.
В случае двигателя постоянного тока на основании уравнения (13.4) запишем:
, (13.5)
,
,
,
,
.
Здесь WU(p) – передаточная функция по каналу управляющего воздействия U, а WM(p) – по каналу возмущающего воздействия МВ .
Одной из форм наглядного представления динамических свойств АСР и их звеньев являются структурные схемы. На этих схемах элементы изображаются с помощью их передаточных функций. Так, для рассматриваемого двигателя постоянного тока структурная схема имеет вид, показанный на рис. 13.1.
U (p) w
Рис. 13.1. Структурная схема двигателя постоянного тока
Графичесий символ означает операцию суммирования. Минус рядом со стрелкой означает вычитание сигнала, что в данном случае соответствует уравнению (13.5). Для обозначения операции вычитания используется также данный символ с зачерненным сектором .
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется передаточной функцией?
2. Что находит отражение в коэффициентах передаточной функции?
3. На каком основании при получении передаточной функции берутся нулевые начальные условия?
4. В чем заключается формальный метод получения передаточной функции по дифференциальному уравнению?