Теорема 6. Если все элементы сходящейся последовательности ,
, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству
(
), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству
(
).
► Доказываем методом от противного. Предположим, что выполняется неравенство .
По определению предела
.
Положим . Тогда
. После несложных преобразований получим
. Из правой части этого неравенства
имеем
. Это противоречит условию, что
. Значит, справедливо неравенство
.
Аналогично доказывается случай . ◄
Теорема 7 (о промежуточной переменной). Пусть последовательности ,
,
таковы, что:
1)
выполняется неравенство
,
2) ,
.
Тогда последовательность сходится и
.
► По определению предела имеем
.
Из последнего неравенства .
Аналогично
.
Отсюда .
Возьмем . Тогда для всех
выполняются неравенства одновременно
.
Отсюда или
. Это означает, что
. ◄