Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1) функция определена в точке , т.е. ;

2) существует ;3) .

Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1–3, то функция называется разрывной в точке , а точка – точкой разрыва.

Определение 2 (по Коши). Функция называется непрерывной в точке , если для любого заданного числа можно найти такое число (зависящее от и ), что для всех , для которых , выполняется неравенство .

Символическая запись:

непрерывна в точке .

Пусть – приращение аргумента, а – приращение функции в точке . При фиксированном приращение является функцией аргумента . Можно дать еще одно определение непрерывности функции в терминах приращений.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Теорема РолляПусть функция удовлетворяет следующим условиям на отрезке : определена и непрерывна на ; дифференцируема на ; . Тогда существует, по крайней мере, одна точка , такая, что .

Теорема 2 (Лагранжа) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что

Теорема Лагранжа называется также теоремой о конечных приращениях, а приведенная формула – формулой Лагранжа. Часто используется следующая запись формулы Лагранжа:

, .

Если в формуле Лагранжа положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Положим в формуле Лагранжа , . Тогда она примет вид

, где .

Данная формула связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют формулой конечных приращений. Данная формула дает точное выражение приращения функции через вызвавшее его приращение аргумента в отличие от дифференциала функции, который определяет приближенное значение приращения функции: . В приближенных вычислениях приращение функции заменяют чаще дифференциалом, т.е. полагают . Формула Лагранжа применяется реже, так как для ее использования необходимо указать точку , что, вообще говоря, не всегда удается.

Теорема 3 (Коши) Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям: непрерывны на отрезке ; дифференцируемы в интервале , причем . Тогда существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

Если положить в формуле Коши , то все условия теоремы Коши будут выполнены, и формула Коши «перейдет» в формулу Лагранжа . Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши